Algebraische Zahlentheorie befaßt sich spätestens seit Hilbert mit Körpererweiterungen von Zahlkörpern. So wie sich das quadratische Reziprozitätsgesetz als Satz über Ideale in quadratischen Erweiterungen von Q interpretieren läßt, so sollen auch alle höheren Reziprozitätsgesetze im Kontext abelscher Erweiterungen von Zahlkörpern erklärt werden.
Die Klassifikation abelscher Erweiterungen eines Zahlkörpers benötigt das Studium des sogenannten Klassenkörpers (d.h. der maximalen unverzweigten abelschen Erweiterung des Zahlkörpers, deren Galois-Gruppe ist die Idealklassengruppe des Zahlkörpers), sowie der maximalen abelschen Erweiterung Kab des Zahlkörpers K und ihrer Galois-Gruppe Gal(Kab/K).

Das Artinsche Reziprozitätsgesetz besagt, dass man für endliche, abelsche Erweiterungen L/K einen Isomorphismus einer gewissen Idealklassengruppe (der Strahlklassengruppe) auf die Galois-Gruppe Gal(L/K) hat, der einer Idealklasse p den Frobenius-Automorphismus Frobp zuordnet. Insbesondere bekommt man für die maximale abelsche Erweiterung einen Isomorphismus Cl(K)/N(Cl(K^{ab}))\cong Gal(K^{ab}/K) für die Idealklassengruppe Cl(K) und die Normabildung N:Kab—>K, die einem Element l\in K^{ab} die Determinante der Multiplikation mit l (als K-linearem Automorphismus von Kab) zuordnet.

Für lokale Körper K wie die p-adischen Zahlen Qp wird diese Theorie deutlich einfacher. Man hat einen Homomorphismus der multiplikativen Gruppe Kx auf die Galois-Gruppe Gal(Kab/K), der ein Element k auf Frobpordp(k) abbildet. Helmut Hasse bewies 1930, dass man für nicht-archimedische lokale Körper wie Qp so einen Isomorphismus K^\times/N((K^{ab})^\times)\cong Gal(K^{ab}/K) bekommt. (Für archimedische lokale Körper wie R oder C hat man einen surjektiven Morphismus, dessen Kern die Einheitskomponente ist.) Der Isomorphismus ist das mit Hilfe des Hilbert-Symbols definierte „lokale Normrestsymbol“, ursprünglich von Hilbert für Kummer-Erweiterungen definiert, aber auf alle endlichen abelschen Erweiterungen lokaler Körper anwendbar.

Claude Chevalley stellte durch die Einführung der Idelegruppe einen Zusammenhang zwischen den beiden Resultaten her. Als Idele bezeichnet man die Einheiten im Adelering, der zu einem Zahlkörper K definiert ist als das restringierte Produkt A_K=\widehat{\Pi}_vK_v über alle Vervollständigungen von K, wobei „restringiertes Produkt“ bedeutet, dass die Komponenten der Elemente für fast alle (von R und C verschiedenen) Vervollständigungen in \mathcal{O}_v\subset K_v – den Elementen mit nichtnegativer Bewertung – liegt. Zum Beispiel ist AQ das Produkt von R mit dem eingeschränkten Produkt aller p-adischen Zahlen Qp, wo also fast alle Komponenten zu Zp gehören sollen. Die Idele sind dann einfach das eingeschränkte Produkt der entsprechenden multiplikativen Einheitengruppen. (Chevalley definierte zunächst Idele und stellte erst einige Jahre später fest, dass sie die Einheiten im größeren Adelering sind.) Die Idelklassengruppe – der Anklang an Idealklassengruppe war beabsichtigt, denn sie übernimmt im Reziprozizätsgesetz die Rolle der Idealklassengruppe – ist der Quotient CK=IK/Kx der Idelegruppe nach der diagonal eingebetteten multiplikativen Gruppe Kx.
Mit diesen Definitionen gelang es Chevalley, die lokalen Isomorphismen zusammenzusetzen zu einem globalen Isomorphismus C_K\cong Gal(K^{ab}/K) oder allgemeiner C_K/N(C_L)\cong Gal(L/K) für jede endliche abelsche Erweiterung L/K. (Insbesondere entsprechen die abelschen Erweiterungen von K den offenen Untergruppen der Idelegruppe.) Sein Isomorphismus bildet ein Idel (ap)p auf \Pi_pFrob_p^{ord_p(a_p)} ab.
Für K=Q bekommt man den Satz von Kronecker-Weber: die maximale abelsche Erweiterung von Q erhält man durch Adjunktion aller Einheitswurzeln und die Galois-Gruppe ist das Produkt der multiplikativen Gruppen p-adischer Körper über alle Primzahlen: Gal({\bf Q}^{ab}/{\bf Q})=\Pi_p{\bf Q}_p^\times. (In diesem Fall ist jede Erweiterung verzweigt, der Klassenkörper also Q, und die Idealklassengruppe bekanntlich trivial.)
Mit seinem auf Eigenschaften der p-adischen Zahlen beruhenden Beweis des Isomorphismus gelang Chevalley die Algebraisierung der Klassenkörpertheorie, während Artins Beweis Funktionentheorie benutzt und letztlich eine Gleichheit von L-Funktionen bewiesen hatte.

Erich Hecke hatte 1917 eine L-Funktion von sogenannten Größencharakteren definiert, die sowohl die L-Reihen von Dirichlet-Charakteren (mit denen man die Verteilung von Primzahlen in arithmetischen Folgen untersucht) als auch die Dedekindsche Zetafunktion von Zahlkörpern (mit der man die Verteilung von Primidealen in Ganzheitsringen untersucht) verallgemeinerte und für die er mit einem aufwendigen Beweis ihre meromorphe Fortsetzbarkeit und ihre Funktionalgleichung bewies.

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Kommentare (2)

  1. #1 Alienist
    30. Oktober 2020

    Artikel 1

    Die Sinus-Quellen der Fourier-Transformation einer Apertur-Funktion tut der Quanten-Physiker in den Rand der Apertur, weil dort kommunizierende Materie ist, die sinusförmig mitschwingen kann.
    (Tenet – Matter matters)

    Die Sinusquellen der Fourier-Transformation einer Apertur-Funktion tut der Mathematiker in die Apertur, was im absoluten Vakuum bedeutet, dass im Nichts (Apertur – Öffnung) Sinus-Quellen entstehen.
    (Tenet – Matter is filthy)

    Artikel 2

    Unpräzise Aussage A des Satirikers Christian Ehring in der heute show von Oliver Welke am 23.10.2020 ab 22 Uhr: Autismus wird durch impfen nicht verursacht.

    Werden die Tätigkeitsverben dieser Aussage von einem Alienist negiert, entsteht die modifizierte Aussage A’: Autismus wird durch nicht impfen nicht nicht verursacht.

    Der Alienist definiert:

    {nicht nicht} = {}

    Somit folgt modifizierte Aussage A’’: Autismus wird durch nicht impfen verursacht.

    Dies ist offensichtlich falsch, weil alle Menschen vor Kenntnis des Impfens durch die überall vorhandenen Viren in Autisten umgewandelt worden wären, was mit nur einem einzigen Gegenbeispiel leicht zu widerlegen ist.

    Mit Hilfe des Vervollständigungsoperators UND versteht der Alienist den Satiriker schließlich, A’’’: Autismus wird durch impfen und nicht impfen nicht verursacht.

    Nun definiert der Alienist:

    {impfen} = {modifizierte Viren}
    {nicht impfen} = {nicht modifizierte Viren}

    und erhält Sinn:Autismus wird durch modifizierte Viren und nicht modifizierte Viren nicht verursacht.

    Zusammenfassung von Artikel 1 UND Artikel 2

    Ein Alienist kann den Physiker und den Satiriker aber nicht den hochfunktionalen Mathematiker verstehen.

  2. #2 Alienist
    31. Oktober 2020

    Natürlich wird ein Alienist von Aliens als Nicht-Club-Mitglied ignoriert.

    Thilo ergänzte weder hier noch im Würfel-Artikel, dass Timothy-Gower „2+2“ gleichsetzte mit „gewürfelte Augenzahl“, was im Sinne von George Orwells ist, der da schrieb, dass 2+2 das ist, was die Partei gleichsetzt, was wiederum sprachlich erlaubt ist.

    Mathematisch ist die Aussage 2+2=Eine_gewürfelte_Augenzahl falsch, weil wegen eetablierter mathematischer Statistik 2+2=4 sein soll, aber Thilo ließ es zu.

    Wenn Thilo falsche Mathematik in seinem Blog erlaubt, was ist dann in seinem Blog bzw. in diesem Artikel wahr oder falsch?