Theorema Magnum MCML: adelische Poisson-Summation

John Tate fand in seiner 1950 bei Emil Artin geschriebenen Dissertation “Fourier Analysis in Number Fields and Hecke’s Zeta Functions” einen konzeptuelleren Zugang zu Heckes Theorie und insbesondere zum Beweis der Funktionalgleichung für die L-Funktion im Kontext der Adele.

Statt der Größencharaktere betrachtete Tate stetige Homomorphismen der Idelegruppe nach C^*. (Man spricht von Quasicharakteren, weil die Bezeichnung Charaktere für Homomorphismen nach S¹ reserviert ist. Jeder Quasicharakter ist das Produkt aus einem Charakter und für eine komplexe Zahl s.) Dieser Begriff umfaßt insbesondere die Dirichlet-Charaktere, die man ja mittels der Projektion auf die Idelegruppe zurückziehen kann.
Tate definiert für jeden Quasicharakter eine L–Funktion. Für einen Charakter χ kann er insbesondere eine auf der komplexen Ebene definierte Funktion durch definieren. Das ist der lokale L-Faktor. Für diesen hat man eine Funktionalgleichung .
Diese L-Funktion unterscheidet sich von einer vorher bekannten Λ-Funktion nur um einen von den archimedischen Stellen kommenden Faktor. Insbesondere folgt aus der Funktionalgleichung der Λ-Funktion die Funktionalgleichung der L-Funktion.

Für die Riemannsche Zetafunktion hat man eine Funktionalgleichung mit . Der Beweis dieser Funktionalgleichung benutzt wesentlich die Poissonsche Summenformel für schnell fallende C^∞-Funktionen (sogenannte Schwartz-Funktionen) f und ihre Fourier-Transformierte . Man wendet sie auf die Funktion an, für die gilt.

In den 30er Jahren hatte Pontrjagin die Theorie der Fourier-Transformation auf beliebige lokalkompakte Gruppen verallgemeinert. Für eine lokalkompakte abelsche Gruppen G mit Haar-Maß μ hat man ihre duale Gruppe von Charakteren, und für jede Funktion f auf G dann ihre „Fourier-Transformierte“ .
Die reellen Zahlen R sind im Sinne der Pontrjagin-Dualität selbstdual, so dass die Fourier-Transformierte wieder auf R definiert ist. Tate bewies in seiner Dissertation, dass auch lokale Körper K (und ihre Produkte) selbstdual sind, so dass die Fourier–Transformierte wieder auf K (oder dem Produkt) definiert ist. Insbesondere kann man das auf die lokalkompakte Gruppe der Idele anwenden.
Weiter bewies Tate dann eine Verallgemeinerung der Poissonschen Summenformel für Adele: für sogenannte Schwartz-Bruhat-Funktionen f. Beim Beweis der Funktonalgleichung wendet man sie auf die Funktion an.

Der Vorteil von Tate‘s Argument besteht darin, dass er die Funktionalgleichung in Funktionalgleichungen für die lokalen Faktoren zerlegt. Man kann sich am einfachsten Beispiel, der Funktionalgleichung für die Riemannsche Zetafunktion, anschauen, was das konkret bedeutet. Man hat hier eine Produktzerlegung mit und . Man hat nun einerseits in R, dass die Fourier-Transformierte von ist und andererseits in Q_p, dass die Fourier-Transformierte von ist, woraus jeweils mit der Poissonschen Summenformel die gewünschte Funktionalgleichung für den lokalen Faktor folgt.

Aus heutiger Sicht geben die Arbeiten von Artin und Tate den GL(1)-Fall des Langlands-Programms.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:John_Tate.jpg