Im vorigen Beitrag ging es um Aufgaben mit einer „richtigen Lösung“, nämlich Berechnung von Grenzwerten und gleichmäßiger Konvergenz, die ChatGPT ziemlich gut bearbeitet. Wie sieht es aus, wenn man ChatGPT richtige Beweise machen lassen will?
Ich versuche es mal mit der Stetigkeit der Sinusfunktion.
Wenn man den Sinus geometrisch am Kreis definiert, folgt die Stetigkeit aus relativ leicht zu beweisenden geometrischen Ungleichungen. Das ist nicht sehr schwer, trotzdem würde es mich wundern, wenn ChatGPT diesen Weg findet, denn er funktioniert eben nicht nach einem bekannten Schema. Außerdem ist dieser geometrische Ansatz zu Winkelfunktionen in Uni-Vorlesungen heute selten, was es natürlich unwahrscheinlich macht, dass ChatGPT diesen Beweis schon einmal gelernt hat.
Häufiger wird heute der Sinus als Potenzreihe definiert, womit die Stetigkeit dann aus dem allgemeinen Satz über die Stetigkeit von Potenzreihen in ihrem Konvergenzkreis (hier ganz R) folgt.
Und dann hat die Kalkülbehaftung des Analysis-Unterrichts in den letzten zwanzig Jahren natürlich dazu geführt, dass Stetigkeit von Studierenden oft als Anwendung der Differenzierbarkeit angesehen wird und man einfach mit einem geeigneten Kalkül die Ableitung berechnet um daraus die Stetigkeit zu folgern.
Was also macht ChatGPT?
Er schlägt zunächst einen Beweis mittels einer trigonometrischen Identität vor, der tatsächlich in Ordnung ist. Die Identität kann man aus den Additionstheoremen herleiten. Kein geometrischer Beweis, aber jedenfalls einer, der tatsächlich mit der Definition von Stetigkeit arbeitet und dem entspricht, wie man sich einen Stetigkeitsbeweis als Mathematiker vorstellt.
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Soweit in Ordnung. Als alternativer Beweis kommt dann aber, wie zu befürchten, tatsächlich der Beweis über die Differenzierbarkeit.
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Und erst als dritter Beweis dann der wahrscheinlich in Lehrbüchern am Häufigsten vorkommende mittels der Definition des Sinus als Potenzreihe.
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Auf eine entsprechende Nachfrage erklärt er dann auch noch den Beweis, warum Potenzreihen stetig sind, freilich ohne wirklich in die technischen Details des Beweises einzusteigen.
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