Newton als Begründer der klassischen Mechanik hatte im 17. Jahrhundert geglaubt, dass sein mathematisches Modell des Sonnensystems keine stabilen Lösungen habe. (Er hatte gemeint, dass das Sonnensystem gelegentliche göttliche Einflußnahme brauche, um stabil zu bleiben. Solche Fragen wurden damals von Theologen sehr ernst genommen.) Poincaré überzeugte die Mathematiker im späten 19. Jahrhundert, dass das Sonnensytem…
Die Klassifikation der Flächen ist seit dem 19. Jahrhundert bekannt, auch wenn ein vollständiger Beweis erst Radó 1925 (aufbauend auf Dehn und Heegaard) gelang. Darüber hinaus war bis in die 50er Jahre zur Klassifikation der Mannigfaltigkeiten kaum etwas bekannt. In Dimension 3 waren in den 30er Jahren die Seifert-Faserungen klassifiziert worden und für Haken-Mannigfaltigkeiten konnte…
Das Titelbild zeigt einen Teil einer seltsamen Immersion des Torus in den R3 (von Cassidy Curtis). Andererseits hat man natürlich auch die übliche Einbettung des Torus in den R3 und man fragt sich, ob solche verschiedene Immersionen des Torus eigentlich topologisch dieselben sind – so wie (nur mal als Analogie) scheinbar kompliziert aussehende Knoten ja…
Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V2(R3) – benannt nach Eduard Stiefel – ist die Menge aller geordneten Paare orthonormaler Vektoren im 3-dimensionalen Vektorraum R3. (Allgemein ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit Vk(Rn) die Menge der geordneten k-Tupel orthonormaler Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum Rn.) Immersionen des Kreises und π1(V1(R2)) Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, wie man die regulären Homotopieklassen regulärer Kurven…
Egal, wie verschrumpelt eine Sphäre ist, man kann sie wieder rundmachen – das bewies Steven Smale 1957. Das Video “Turning the sphere inside out” (vor 3 Wochen verlinkt) zeigte die Umstülpung der Sphäre, also wie man eine die Sphäre so verformt, dass innen und aussen vertauscht werden. Die Umstülpbarkeit der Sphäre ist natürlich ein Spezialfall…
Die Sphäre im Titelbild ist nicht “immersiert”: am Äquator sind die Ableitungen (in horizontaler Richtung) alle Null. Solche Spitzen entstehen scheinbar zwangsläfig, wenn man versucht eine Sphäre umzustülpen. Wir hatten letzte Woche ein Originalvideo aus den 70er Jahren verlinkt, in welchem Pugh (unter anderem mit Smale) die Umstülpung der Sphäre erklärten. Es ging um die…
Hyperbolische Dynamik und Strukturelle Stabilität.
Mathematik zwischen Strenge und Verständlichkeit.
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