Die Klassifikation der Flächen ist seit dem 19. Jahrhundert bekannt, auch wenn ein vollständiger Beweis erst Radó 1925 (aufbauend auf Dehn und Heegaard) gelang.
Darüber hinaus war bis in die 50er Jahre zur Klassifikation der Mannigfaltigkeiten kaum etwas bekannt. In Dimension 3 waren in den 30er Jahren die Seifert-Faserungen klassifiziert worden und für Haken-Mannigfaltigkeiten konnte man mittels Hakens Algorithmus (veröffentlicht 1962) zumindest theoretisch entscheiden, wann sie homöomorph sind. Die Klassifikation allgemeiner 3-Mannigfaltigkeiten war aber weit offen und insbesondere waren alle Versuche zum Beweis der Poincaré-Vermutung gescheitert. Papakyriakopoulos arbeitete über Jahrzehnte erfolglos an einem Beweis der Poincaré-Vermutung, bewies aber jedenfalls in den 50er Jahren das Lemma von Dehn und den Sphärensatz.
In höheren Dimensionen war über die Klassifikation von Mannigfaltigkeiten eigentlich nichts bekannt. Milnors 1956 gefundene Beispiele exotischer 7-Sphären zeigten jedenfalls, dass die Poincaré-Vermutung für einfach zusammenhängende Homologiesphären in höheren Dimensionen bestenfalls einen Homöomorphismus und im Allgemeinen keinen Diffeomorphismus zur Sphäre geben konnte.

Stephen Smale, der in seiner Dissertation eine überraschende Umstülpung der Sphäre gefunden und diese mit seinem Studenten Morris Hirsch zu einer allgemeinen Theorie regulärer Homotopieklassen von Immersionen ausgebaut hatte, war seit 1960 am IMPA in Rio de Janeiro und beschäftigte sich dort mit dynamischen Systemen, betrachtete sich aber weiterhin als Topologen. Bei der Untersuchung gewisser Gradientenflüße erkannte er die Möglichkeiten, die sich für die Topologie ergaben. Im Nachhinein war es wohl ein Vorteil, dass er nicht viel über die topologischen Probleme bei Henkelzerlegungen wußte. John Stallings, der problematische Präsentierungen der trivialen Gruppe kannte, hatte diese Ideen wohl deshalb nicht verfolgt.

Smales Idee war, die Poincaré-Vermutung in höheren Dimensionen mittels Morse-Theorie zu beweisen. Diese Theorie betrachtet auf einer Mannigfaltigkeit eine Funktion mit nicht-ausgearteten kritischen Punkten, und Smale konstruierte mit Hilfe ihres Gradientenflusses eine Henkelzerlegung der Mannigfaltigkeit: jeder kritische Punkt vom Index k entspricht – wie er bewies – einem k-Henkel in der Zerlegung. (Damit bekommt man einen einfachen Beweis der Klassifikation der Flächen und in Dimension 3 die Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit in zwei Henkelkörper.)

Der Ansatz ist dann, durch Eliminieren von Henkeln eine möglichst einfache Henkelzerlegung zu bekommen. (Wenn man beispielsweise am Ende nur zwei Vollkugeln entlang ihres Randes verklebt, ist die Mannigfaltigkeit homöomorph zur Sphäre.) Diesen Ansatz wandte Smale insbesondere auf h-Kobordismen zwischen Mannigfaltigkeiten an. Ein h-Kobordismus ist ein Kobordismus W zwischen einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten M1 und M2, bei dem die Inklusionen von M1 und M2 in W jeweils Homotopieäquivalenzen sind. Milnor hatte die Frage gestellt, ob jeder h-Kobordismus von der Form W=Mx[0,1] ist. (Er hatte auch gezeigt, dass dies im Allgemeinen nur für einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten richtig sein kann. Im Fall nichttrivialer Fundamentalgruppe werden die verschiedenen h-Kobordismen durch die Whitehead-Gruppe von π1M klassifiziert.)
Smale betrachtete die durch Morse-Theorie konstruierte Henkelzerlegung des h-Kobordismus W und versuchte dann die Anzahl der Henkel zu reduzieren. Die 0-, 1-, n-1- und n-Henkel betrachtete er zunächst gesondert und zeigte, dass sie im einfach zusammenhängenden Fall eliminiert werden können. Wenn die Dimension der Mannigfaltigkeit mindestens 5 ist, kann man für die Eliminierung der anderen Henkel einen Trick anwenden, den Whitney ursprünglich erfunden hatte, um Selbstschnitte von Immersionen zu eliminieren und damit seinen Einbettungssatz zu beweisen. Durch Anwendung des Whitney-Tricks konnte Smale für zwei Henkel h1,h2 erreichen, dass die geometrische Schnittzahl (die Anzahl der Schnittpunkte) der aufsteigenden (transversalen) Sphäre von h1 mit der absteigenden (anklebenden) Späre von h2 gleich der (homologisch definierten) algebraischen Schnittzahl ist. Wenn die algebraische Schnittzahl gleich 1 ist, dann erhielt er also dass die Sphären sich in nur einem Punkt schneiden. Dann kann man aber wie im Bild unten h1 und h2 auch weglassen ohne den topologischen Typ der Mannigfaltigkeit zu ändern. (Der Beweis dieser Tatsache ist trotz einfacher Bilder sehr technisch.) Auf diese Weise konnte er letztlich alle Henkel kürzen und erhielt also einen trivialen Kobordismus.

Natürlich funktioniert das nur für h-Kobordismen: wegen des Verschwindens der relativen Homologie kann man dort mit algebraischen Argumenten Henkel schieben und sich kürzende Henkel addieren, so dass alle Randoperatoren aus einer Blockmatrix I und einer Blockmatrix 0 bestehen, die algebraischen Schnittzahlen also 1 sind. Das geht, weil die Kettenkomplexe frei sind und weil das Henkelschieben elementaren Reihen- oder Spaltenoperationen entspricht, während ein zusätzliches Henkelpaar eine Extra-Spalte und Zeile mit nur einer 1 in der Ecke entspricht. (Eine -1 kann man durch die Orientierung der Henkel vermeiden.)

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Kommentare (2)

  1. #1 Wirist Schrecklichschwierig
    16. Januar 2021

    Wegen des 20jährigen Bestehens der Wikipedia, verlinke ich den Artikel h-cobordism, der encyclopediaofmath verlinkt

    Der karge magere deutsche Artikel h-Kobordismus ist nur wegen seiner Versionsgeschichte interessant; er wurde erst am 28. Oktober 2019 um 12:25 Uhr erzeugt!
    Der englische wurde viel früher am 07:13, 26 May 2004 erstellt, allerdings nur mit dem einem Wort cobordims gefüllt. #Habsucht #Wächterskript #Privileg
    1 Jahr später am 02:15, 27 October 2005 wurde der Artikel minimal mit Text gefüllt.
    Im Jahr 2020 erfährt LeserIn, dass h für homotopy equivalence steht.

    Der deutsche Artikel verlinkt intern nicht auf eine Kategorie Schneiden/Kleben Theorie, dagegen verweist der englische auf die Category Surgery Theory

    Die 20jährige Wikipedia bietet jedem neuen User eine Liste nicht existierender Artikel (bis September 2019 z.B. h-Kobordismus) zum Erstellen nicht an, obwohl das der fundamentale Zweck eines kooperativen Mitmach-Vereins ist!
    Vielmehr wird der frisch angemeldete Neuling mit Good Luck lapidar ins Haifisch-Becken geworfen, weil ihm oder ihr ein Formular (Intro, Body, Reference) für das Erstellen eines neuen Artikels nicht zur Verfügung gestellt wird, welches von einem Skript überwacht wird, das Regelverstöße rot markiert und den Artikel solange nicht freigibt, bis alle roten Warnungen für jeden Satz (citation needed, max. internal linking, references, forbidden hyperlinks in Intro and Body, etc.) vom Artikel-Urheber beseitigt wurden.
    Die Artikel-Erstellung muss wegen (urheberrechtlicher) Schadensersatz- und Unterlassungsklagen und Fake-News-Gesetzen und Straf-Gesetzen journalistischen Ansprüchen genügen und ist somit ein Privileg für gebildete Auserwählte, die sich jahrelang hochgearbeitet und das Vertrauen der Wikipedia-Elite erworben haben. Dieses Privileg wird den Auserwählten garantiert, indem jedem nicht auserwählten Neuling das Erstellen eines neuen Artikels oder Bearbeiten eines existierenden 1-Wort-Artikels möglichst schwer gemacht wird z.B. durch wiederholtes Löschen und Kritisieren und schier endloses Diskutieren.

    Der öffentlich-rechtliche Sender Das Erste hat meiner Meinung nach Zensur ausgeübt und in dem Film Wikipedia Das Versprechen jenen Teil ausschneiden lassen, in dem die 2 Frauen, die für Buch und Regie zuständig sind, nach ihren anonymen Wikipedia-Neu-Anmeldungen den spielerisch einfachen WHYSIWYG-Editor ausprobierten, und journalistisch recherchierend feststellten, dass sich seit dem Edit-War wegen der Liste-deutscher-Science-Fiction-Autorinnen nichts positiv verändert hat, und neue Artikel oder erhebliche Änderungen bestehender Artikel von nicht auserwählten Neueinsteigern weiterhin grundsätzlich und schnell gelöscht werden.

    Womit wir wieder bei Thilo sind, der den deutschen Wikipedia-Artikel H-Kobordismus aus vielen und guten Gründen (Edit War, Admin-Diktatur, Gefälligkeits-Willkür, Artikel-Eroberung, Komma-Streits, Klüngel, Relevanz-Streits, Artikel-Habsucht, unbegründete Plagiats-Vorwürfe, usw.) im Jahr 2019 nicht erzeugte!

    Thilo schreibt in seinem Blog auf deutsch über Theoreme, obwohl die englische Wikipedia in der Category List of Theorems alle mathematischen Theoreme enthält und mit einem ArXiv-Link auf ein PDF-Dokument verweist, welches über 200 Theorems of Mathematics auf englisch kostenlos zur Verfügung stellt; obwohl die englische Sprache die Standardsprache der Mathematiker ist z.B. 2022 während des Kongresses in St. Petersburg; obwohl die einzige Chance, in die langen englischen Blogrolls von z.B. Tery Tao oder Peter Cameron ehrenvoll aufgenommen zu werden, ein englischsprachiger Mathe-Blog für Fortgeschrittene ist.

  2. #2 Thilo
    16. Januar 2021

    Zumindest für die Mathematik gibt es Listen fehlender Artikel: https://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Mathematik/Fehlende_Artikel

    Ich hatte auch überlegt, einen Artikel zum 20-jährigen Geburtstag der Wikipedia zu schreiben, es aus verschiedenen Gründen aber gelassen. Ich hätte da allerdings andere ScHwerpunkte gesetzt. Einen Artikel zu aktuellen Fehlentwicklungen hatte ich mal vor einem Jahr: https://scienceblogs.de/mathlog/2020/01/26/die-zerstoerung-der-wikipedia/