“… da das Auge Symmetrie oder Figuren mit einer regelmäßigen Wiederkehr vorzieht.” (Charles Darwin) – euklidische Symmetrien in der Alhambra
Symmetrien spielen schon immer eine große Rolle in der Kunst, besonders in der arabischen (wegen des Bilderverbots im Islam). Das bekannteste Beispiel dafür sind sicher die Arabesken in der Alhambra, die im Mittelalter im damals islamischen Granada (Südspanien) gebaut wurde.
Die Symmetrien eines ebenen Musters bilden eine (diskrete und kokompakte) Gruppe euklidischer Isometrien. (Die englische Bezeichnung ist Wallpaper groups, im deutschen spricht man prosaischer von ebenen kristallografischen Gruppen.) Es gibt (bis auf Isomorphie) 17 verschiedene solcher Gruppen, wie Polya 1924 bewiesen hat.
Am einfachsten ist die Gruppe, die von 2 Verschiebungen erzeugt wird. Diese Symmetrien erkennt man zum Beispiel im Bild unten (das darüber hinaus aber noch weitere Rotationssymmetrien aufweist):
Interessanter wird es natürlich, wenn es noch Drehungen oder Spiegelungen (bzw. Gleitspiegelungen) gibt. Zum Beispiel dieses Muster hat zusätzlich zu zwei Verschiebungen auch noch eine Drehsymmetrie mit Winkel 120o:
Noch ein komplizierteres Beispiel: dieses Muster hat neben 2 Verschiebungen noch Drehsymmetrien mit Winkeln 180o, 120o und 60o:
Hier die Liste der 17 kristallografischen Gruppen,
die oben abgebildeten Muster entsprechen den Gruppen p4, p3 und p6m.
Man hört und liest gelegentlich (auch in der Wikipedia), daß alle 17 kristallografischen Gruppen in der Alhambra vorkommen. In Wirklichkeit sind aber wohl nur 13 der 17 Gruppen dort zu finden. (Dazu gab es vor einigen Jahren einen Artikel von Branko Grünbaum. José Maria Montesinos hatte 1987 in seinem bekannten Buch “Classical Tesselations and Three Manifolds” anhand von Fotos gezeigt, daß alle 17 Gruppen in der Alhambra vorkommen. Dabei hatte er aber ausdrücklich die Farbgebung vernachlässigt, d.h. in einigen Fällen wiesen nur die Muster selbst, nicht die Farben, die fraglichen Symmetrien auf. Seine Argumentation war, daß nur die Muster selbst von den Erbauern stammen, während die Farben erst nachträglich aufgetragen wurden.)
Auf der Webseite von Steve Edwards (von der auch die Bilder oben sind) findet man Fotos aller 13 in der Alhambra vorkommenden Symmetriegruppen.
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