Unendlich breite Stapel

Von Thilo / 2. April 2019 / 32 Kommentare

Kann man unendlich viele Bücher so übereinanderstapeln, dass der Stapel nicht nur unendlich hoch, sondern auch unendlich breit wird?

Diese Frage beantwortet Charles Fefferman (Herausgeber der Annals of Mathematics) im neuen Numberphile-Video:

Kommentare (32)

#1 Fluffy
3. April 2019

Und? Kann man?
#2 rolak
3. April 2019

Mußten wir hier in K im Anfängerpraktikum bauen, Fluffy, war ein hartes Wochenende. Bis über D’dorf sind wir gekommen, war aber nicht annähernd hoch genug und somit deutlich zu nah, also sind wir wieder runtergeklettert. Die Arme wurden eh so langsam etwas schwer…

Ja, man kann, und es ist ein wahrhaft harmonisches Erlebnis.
#3 Fluffy
3. April 2019

Harmonisch? Weil die Harmonische Reihe -1/12 ergibt?
#4 rolak
3. April 2019

Weil?

Nee, Fluffy, schon deswegen nicht, weil Du das mit der analytischen Fortsetzung der Summe der natürlichen Zahlen velwechserst. Dagegen divergiert die harmonische Reihe unweigerlich und so kann der Stapel ganz schön breit sein.
#5 bote19
3. April 2019

Typisch Mathematiker. Die Oberfläche der Erde ist gewölbt. Wenn jetzt der unendlich breite Stapel auf der Rückseite der Erde angekommen ist, dann stürzt er doch zusammen? ? Der Schwerpunkt des Stapels wandert bei diesem Wachstum nach links. Da der Stapel auch höher wird, wird die Anziehungskraft immer kleiner. Spätestens bei der zweiten Erdumrundung des Stapels kommt es zu einem Konflikt. Wo ist jetzt der Schwerpunkt des zweimal gewickelten Stapels ?
#6 schorsch
3. April 2019

In dieser Folge behauptet Fefferman – wenn ich ihn richtig verstehe – dass die Stapelung der Bücher der Folge 1+1/2+1/3+1/4… = ∞ entspräche, und dass die Bücher somit unendlich zur Seite gestapelt werden könnten.

Aber stimmt das auch? Der Bücherstapel im Video ist entsprechend der ersten betrachteten Folge 1+1/2+1/4+1/8… = 2 gestapelt – der Stapel kann also nie breiter werden, als zwei Bücher nebeneinander. Und das kann auch nicht anders sein, da die Folge 1+1/2+1/3 hier schon einen Einsturz des Stapels ergäbe.

Nun bin ich kein Fields-Preisträger, die Annahme ist daher zumindest vernünftig, dass der Denkfehler bei mir liegt. Aber wenn, dann wo?
#7 schorsch
4. April 2019

Ähhhmmm… Kann es sein, dass die Datumsangabe auf Youtube, 2. April, sich auf MEZ bezieht und Fefferman das Video tatsächlich am 1. April eingestellt hat?
#8 Karl-Heinz
4. April 2019

@schorsch

Die Reihe ist 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …
mit a[k] = 1/(2k)

Diese Reihe divergiert
#9 rolak
4. April 2019

Kann es sein?

Selbstverständlich kann das sein, schorsch, nur hat das nichts mit der Aufgabe zu tun.

die Folge 1+1/2+1/3 hier schon einen Einsturz des Stapels

Kann es sein, daß Dir entgangen ist, daß die Reihe oben am Stapel anfängt? Und wenn Dich das labile Gleichgewicht stört, dann laß einfach den obenanfänglichen ½-Versatz weg und beginne mit ⅓ – ändert nix an der Reichweite, steht aber stabiler.
Dpedia beschreibts nüchtern-schön.
#10 schorsch
4. April 2019

Danke für den Wikipedia-Link, rolak. Der war wirklich hilfreich.

Aber jetzt ‘ne andere Frage: Warum sehe ich alle Kommentare seit meinem zweiten datiert auf den 4. April?

Liegt das auch an mir, an meinen Browsern, an meinen Zeitservern? Oder ist das ein ganz neues Phänomen?
#11 Karl-Heinz
4. April 2019

Test auf 4-ten April, obwohl heute der 3-te April ist.
#12 Karl-Heinz
4. April 2019

@schorsch

Zeit in Seoul, Südkorea
01:56
Donnerstag, 4. April 2019 (GMT+9)
Thilo wohnt ja in Seoul. Datum dürfte auf die lokale Zeit von Seoul eingestellt sein. 😉
#13 rolak
4. April 2019

lokale Zeit von Seoul

Das Erstaunliche an der Sache ist, daß es alle Nas lang irgendjemandem wieder neu auffällt und Verwirrung auslöst, Karl-Heinz. Sollte Thilo vielleicht nach altem Muster ins ‘about’ übernehmen ‘Achtung – sie überqueren die Grenze zur KoreaZeit!’
- #14 Karl-Heinz
  4. April 2019
  
  @rolak
  
  Gute Idee 😉
#15 Laie
4. April 2019

@schorsch
Der Beweis für 1+1/2+1/3+1/4…1/n geht gegen unendlich ist recht einfach. Er geht mit einer Abschätzung (gegen eine andere “kleinere” Reihe, die auch gegen “unendlich geht”), nämlich die Reihe 1/2 + 1/2 + 1/2 + ….

Dabei schätzt man ein Glied der ersten Reihe geschickt mit einem der zweiten Reihe ab.:

Man nimmt jeweils soviele Glieder bis jeweils 1/2 rauskommt, also 1+1/2+(1/3+1/4) ist ja kleiner als 1/2 + 1/2 + 1/2 nun nimmt man 1/5 bis 1/8 und die Summe ist wiederum grösser kleiner als 1/8 +1/8 + 1/8 + 1/8. Also immer doppelt so viele Glieder nehmen auf das nächste 2 hoch n und man erhält die “kleinere” Reihe von 1/2 + 1/2 + 1/2, jedoch “unendlich” oft, somit geht die Reihe gegen unendlich.
#16 Lorelei
BLA
5. April 2019

Hallo =)
was muss man denn beachten damit 1/2 =/= 0.5 ist ?
Dachte immer 1/2 wäre = 0.5 und versteh nich wieso 1+1/2+1/2 =/= 2 sein soll :'(
Würde mich sehr über eine Antwort freuen 😀
#17 rolak
5. April 2019

versteh nich wieso 1+1/2+1/2 =/= 2 sein soll

..und ich versteh nicht, wo das stehen soll, Lorelei, hättste mal Zitat/Link in petto? Oder ist die Anbindung auf Deinem Felsen nicht ganz so golden?
#18 Thilo
5. April 2019

Möglicherweise geht es um die Geometrische Reihe
1 + 1/2 + (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 + …
Deren Wert ist tatsächlich 2.
#19 Laie
5. April 2019

@schorsch, Korrektur, hier die bessere und richtiggestellte Version: (#15 ist falsch)

Der Beweis für 1+1/2+1/3+1/4 … mit a(n)=1/n geht gegen unendlich ist recht einfach.
Er geht mit einer Abschätzung gegen eine zweite Reihe, deren einzelne Glieder genau konstant 1/2 betragen
(D.h. die Zweite Reihe ist 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 …)

Würde man die Glieder direkt gegenübestellen, dann ginge es nicht. Es ist aber nicht verboten, die Summe von mehreren Glieder aus einer Reihe einem Glied aus der anderen Reihe gegenüberzustellen.

Dabei schätzt man mehrere Glieder aus der ersten Reihe geschickt mit einem neuen Glied der 2.Reihe (1/2) ab:
n bezieht sich im Folgenden auf die Anzahl der zu berücksichtigenden Anzahl der Glieder.
Die Zeilennummer auf die Anzahl der Glieder aus der zweiten Reihe:

1. n=1 : 1>1/2
2. n=2 : 1+1/2 > 1/2 + 1/2 = 2×1/2
3. n=4 : 1+1/2+(1/3+1/4) > 1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) = 3×1/2
4. n=8 : 1+1/2+(1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) > 3×1/2 + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) = 3×1/2 + 1/2 = 4×1/2
5. n=16: 1+1/2+(1/3+1/4) + (1/5+1/6+1/7+1/8) + (1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16) > 4×1/2 + (1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16+1/16) =
= 4×1/2 + 1/2 = 5×1/2
…
Der Trick ist also immer doppelt so viele Glieder aus der Ausgangsreihe bei jedem neuen Schritt so zusammenzufassen,
so dass mit (n/2) x 1/n = 1/2 abgeschätzt werden kann.

Da nun die so gebildete Zwischensumme der kleineren Reihe (1/2 + 1/2 + ….) gegen “unendlich” geht, muss die Ausgangsreihe erst “recht” gegen “unendlich” gehen.
#20 rank zero
5. April 2019

Die harmonische Reihe ist ja eigentlich nur die elementare Version dieses Problems – interessant wird das Problem in der schärferen Form, wieviel Bücher man maximal braucht, um einen vorgegebenen Überhang zu erreichen. Beim harmonischen Stapeln wächst diese Anzahl exponentiell mit der Vorgabe; seinerzeit sehr überraschend haben M. Paterson et al. vor zehn Jahren [Am. Math. Mon. 116, No. 1, 19–44 (2009; Zbl 1229.00005Zbl 1168.40001); ibid. 116, No. 9, 763–787 (2009; Zbl 1229.00005)] gezeigt, dass es hinreichend (und notwendig) ist, polynomial (nämlich bis auf einen Faktor in der dritten Potenz) des gewünschten Überhangs zu stapeln.
#21 anderer Michael
8. April 2019

Ich verstehe das nicht.
Wenn ein Stapel unendlich hoch ist, dann folgt daraus zwangsläufig, dass der Stapel unendlich breit sein kann ( aber nicht sein muss).
#22 Thilo
8. April 2019

Man kann die Schachteln nicht beliebig über/neben-einander legen, sondern muß den jeweiligen Schwerpunkt weit genug innerhalb haben, damit der Stapel nicht kippt. Deshalb muß der neu hinzukommende „überstehende“ Teil immer kleiner und am Ende sehr klein werden. Insofern ist es schon überraschend, dass man den Stapel trotzdem unendlich breit bekommt.
#23 anderer Michael
8. April 2019

Danke für die Antwort,
ich hatte die Grundaufgabe vollkommen falsch verstanden. Jetzt verstehe ich etwas besser
Nur nebenbei gefragt, hält der Stapel da oben auf dem Bild wirklich? Ich habe das ausprobiert, nur mit 6 gleichen Büchern, in den Abständen wie auf dem Bild und im Video erwähnt,fällt der Stapel um. Also Abstände 1/2 ,1/3 , 1/4 usw
- #24 Karl-Heinz
  8. April 2019
  
  @anderer Michael
  
  Probiers mit
  1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …
  und berichte dann.
#25 anderer Michael
8. April 2019

Da oberste mit nur 1/2 ist das Problem.
Ich denke, hier muss man ganz exakt rechnen und messen, die Taschenbücher sind auch nicht steif genug ,der Turm bekam schnell eine Schräge.
Mit CD’s, die steifer sind, im Prinzip das gleiche. Bis 10 CD’s klappte es, aber nur wenn der oberste Anteil mit 1/ 2 weggelassen wird, sonst ist bei 5 – 6 Schluss. Aber wohlgemerkt , das exakte Abmessen mit wirklich gleichen Gewichten ist bei mir natürlich nicht gegeben.
#26 Karl-Heinz
8. April 2019

So jetzt kommt die Masterfrage.
Wo liegt der Schwerpunkt des unendlich hohen und unendlich breiten Stapels. Als Hilfestellung gebe ich den Schwerpunkt y_s an. Ursprung des Koordinatensystems ist linke untere Ecke des untersten Bausteines.
S= (x_s=?, ∞/2) 😉
#27 anderer Michael
8. April 2019

Karl-Heinz
Sorry. Das ist mir zu hoch. Das kann ich nicht rechnen. Ich wollte heute am Abend nur mal für mich ausrechnen, wie viel Gewicht überhängt und das Video nochmal in Ruhe anschauen und alles übersetzen.
Ich gehe schon davon aus , dass das alles stimmt. Manchmal bin nur neugierig und probiere halt aus, im Rahmen meiner Möglichkeiten ( oder rechne nach, ebenfalls im Rahmen meiner Mittelstufenmathematik).
Das war kein Mißtrauen.

Wenn ich mir das Bild so anschaue, dürfte der Schwerpunkt rechts irgendwo von der unteren linken Ecke sich befinden auf der x Achse ( die Horizontale meine ich). Und auf der y Achse zwischen dem 5 und 6 Buch.
#28 Laie
9. April 2019

@anderer Michael
Unendlich hoch ist auch gefährlich, weil das bedeutet unendlich viel Masse. Ob die im Universium Platz hat? 😉

Wie stabilisiert man einen unendlich hohen Turm, nicht dass der anfängt sich herumzuschlängeln!
#29 Frank Wappler
10. April 2019

Laie schrieb (#28, 9. April 2019):
> Unendlich hoch ist auch gefährlich, weil das bedeutet unendlich viel Masse. […]

Gefährlich wäre dabei jedoch nicht unbedingt die bloße Vielzahl der (gleichen, massiven) Bücher bzw. Schachteln an sich, denn anhand der gegebenen stabilen Versuchsanordnung (mit Schachtel-Masse $m$ und Schachtel-Höhe $h$ ) hielte sich die allein von ihnen ausgehende Gefahr (bekanntlich ;) in Grenzen; etwa:

$\mathbf a^{\text{Newton}}_{\text{Stapel}} \le \sum_{k = 1}^{\infty}\left[ \frac{G \, m}{(k \, h)^2} \right] = \frac{G \, m}{h^2} \, \sum_{k = 1}^^{\infty}\left[ \frac{1}{k^2} < 2 \, \frac{G \, m}{h^2}$ .

Gefährlich erschiene erst der unheimliche Druck auf jede der Schachteln bzw. auf die Bodenfliesen wegen der (angenommenen) unheimlichen Gewalt, die jede noch so hoch platzierten Schachtel die gleiche Schwere " $m \, \mathbf g$ " (auf alle darunterliegenden Schachteln, und schließlich auf die Bodenfliesen) beitragen lassen soll.
#30 Frank Wappler
10. April 2019

Laie schrieb (#28, 9. April 2019):
> Unendlich hoch ist auch gefährlich, weil das bedeutet unendlich viel Masse. […]

Gefährlich wäre dabei jedoch nicht unbedingt die bloße Vielzahl der (gleichen, massiven) Bücher bzw. Schachteln an sich, denn anhand der gegebenen stabilen Versuchsanordnung (mit Schachtel-Masse $m$ und Schachtel-Höhe $h$ ) hielte sich die allein von ihnen ausgehende Gefahr (bekanntlich ;) in Grenzen; etwa:

$\mathbf a^{\text{Newton}}_{\text{Stapel}} \le \sum_{k = 1}^{\infty}\left[ \frac{G \, m}{(k \, h)^2} \right] = \left(\frac{G \, m}{h^2}\right) \, \sum_{k = 1}^{\infty}\left[ \frac{1}{k^2} \right] < 2 \, \left(\frac{G \, m}{h^2}\right)$ .

Gefährlich erschiene erst der unheimliche Druck auf jede der Schachteln bzw. auf die Bodenfliesen wegen der (angenommenen) unheimlichen Gewalt, die jede noch so hoch platzierten Schachtel die gleiche Schwere " $m \, \mathbf g$ " (auf alle darunterliegenden Schachteln, und schließlich auf die Bodenfliesen) beitragen lassen soll.
#31 Laie
13. April 2019

@Frank Wappler
Danke für die Einschätzung des Sachverhaltes, ins besonders in Erdnähe. ABER:
Dem Autor dieser Zeilen sind schon mal schwerer Bücher auf die Zehen gefallen, eben weil der Turm etwas schief war und den mathematischen Anforderungen (sollte stabil sein, weil schön weil h und m passten, aber wegen einerer Nebensächlichkeiten das Gegenteil erfolgte! 😉 )

Zurückkommend auf “stabile Versuchsanordnung” (^_^), grössere Büchertürme unbedingt auch die geostationäre Höhe von 35.786 km beachten,
ab dieser unser Turm sich sehr stabil auflösen würde (soferne Windstelle und exakte Hochstabelbarkeit bis zu dieser Höhe möglich ist).
#32 Laie
13. April 2019

Hoppla: #31 enthält einige Tippfehler:
soferne Windstille …
– “weil schön”
einerer -> einiger