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Weihnachtsrätsel III

Von / 15. Dezember 2014 / 1 Kommentar
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Hier der dritte Teil des Weihnachtsrätsels.

Aufgabe 1

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich nicht in der Form x^2+2y^2+5z^2+5w^2 mit ganzen Zahlen x,y,z,w darstellen läßt.

Aufgabe 2

Die Eulersche Phi-Funktion φ(n) einer natürlichen Zahl n ist die Anzahl aller zu n teilerfremden natürlichen Zahlen, die kleiner als n sind. Zum Beispiel ist φ(p)=p-1 für eine Primzahl p, allgemeiner φ(pk)=pk-1(p-1) falls p eine Primzahl und k eine natürliche Zahl ist, und es ist φ(mn)=φ(m)φ(n) falls m,n teilerfremd sind.

Man finde alle Lösungen von \phi(\phi(n))=22

Aufgabe 3

Sei G die 4-elementige Gruppe \left\{1,a,b,c\right\} mit 1 als neutralem Element und den Verknüpfungen ab=ba=c,ac=ca=b, bc=cb=a^2=1, b^2=c^2=a.
Sei GL(2,R) die Gruppe der invertierbaren 2×2-Matrizen.
Finde einen Homomorphismus G\to GL(2,R), der nicht alle g\in G auf die Einheitsmatrix abbildet.

Lösungen können an weihnachtsmathlog@yahoo.com geschickt werden (Kommentare zu diesem Artikel sind ausgeschaltet), weitere Erläuterungen hier.

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Kommentare (1)

  1. #1 Weihnachtsrätsel – Mathlog
    15. Dezember 2014

    […] Nachdem das Adventsrätsel bei Astrodicticum Simplex ja wieder regen Zuspruch findet, will ich es hier auch einmal mit einer (kürzeren) Adventsrätselreihe versuchen. Heute, Freitag und kommenden Montag erscheinen hier je 3 Aufgaben (insgesamt also 9), Lösungen können (nach jeder Folge oder auch für alle gemeinsam) bis 18.12., 23:59 Uhr an die Einzweckadresse weihnachtsmathlog@yahoo.com geschickt werden. (Kommentare zu den 3 Postings werden bis dahin abgeschaltet.) Als Preise gibt es die neue Ausgabe des KIAS-Wandkalenders für 2015 (in Normalgröße, nicht die Monsterversion im Bild unten). Ausgelost wird unter allen Teilnehmern mit mindestens 3 richtigen Lösungen (und bei 9 richtigen braucht man nicht in die Verlosung), Gewinner werden nach Einsendeschluß benachrichtigt und sollten mir dann natürlich ihre Adresse mitteilen. Ich bin gespannt auf die Resonanz. Die Aufgaben stammen übrigens aus dem Kalender, geringfügig variiert. Weihnachtsrätsel I Weihnachtsrätsel II Weihnachtsrätsel III […]