Topologie von Flächen IV

Euler’s Polyederformel ermöglicht es festzustellen, ob eine in Dreiecke zerlegte Fläche tatsächlich eine Sphäre ist. Sie ist der wohl älteste topologische Lehrsatz und hat heute viele Beweise.

Letztes Mal hatten wir an Hand von Beispielen gesehen, daß man die Anzahl der Henkel einer Fläche bestimmen kann, ohne die Fläche zu verlassen. Nämlich, für eine Zerlegung der Fläche in Dreiecke (oder auch beliebige n-Ecke) gilt E-K+F=2-2g, wobei E die Anzahl der Ecken, K die Anzahl der Kanten, F die Anzahl der Flächen und g die Anzahl der Henkel ist.

Insbesondere gilt für klassische Polyeder, also Zerlegungen der Sphäre (g=0) : E-K+F=2 (Euler’sche Polyederformel).

In einer 1988-90 durchgeführten Umfrage des The Mathematical Intelligencer nach den 10 schönsten mathematischen Sätzen aller Zeiten kam die Euler’sche Polyederformel auf Platz 2. (Platz 1 belegte eine andere Formel von Euler, nämlich e^iπ+1=0.)

Die Euler’sche Polyederformel kann man wohl als den historisch ersten topologischen Satz bezeichnen, auch wenn Euler selbst dies sicherlich nicht bewußt war. (Gelegentlich wird auch Euler’s Lösung des Königsberger Brückenproblems von 1736 als ältester topologischer Satz angesehen, aber nach heutiger Terminologie würde man dieses Problem wohl eher der Graphentheorie zuordnen.) Ein topologischer Satz ist die Polyederformel deshalb, weil sie eben die Polyeder charakterisiert, die topologisch die Gestalt einer Sphäre haben. (Wir hatten ja in Teil III am Beispiel gesehen, daß z.B. für eine Zerlegung des Torus E-K+F nicht 2, sondern 0 ist.)

Wir hatten die Formel letztes Mal nur an einigen Beispielen nachgeprüft, und den Beweis verschoben. Heute wollen wir nun zunächst die Euler’sche Polyederformel, also den Fall g=0 beweisen. Für den Beweis nehmen wir an, daß der Polyeder auf eine Sphäre vom Radius 1 projiziert ist, die Flächen also wie im Bild aus (gekrümmten) sphärischen Dreiecken zusammengesetzt sind.

Die Polyederformel wurde 1750 von Euler ‘beobachtet’ (zu einem Zeitpunkt, als er bereits fast blind war), und 1794 von Legendre bewiesen. Legendre’s Beweis benutzt die Innenwinkelsumme in sphärischen Dreiecken: wenn man ein Dreieck auf der Sphäre vom Radius 1 hat, mit Innenwinkeln α, β und γ, und Flächeninhalt A, dann ist

α+ β + γ=π+A.

(Hierbei mißt man die Winkel in Radiant, also π=180 Grad. Die Innenwinkelsumme sphärischer Dreiecke ist also immer größer als 180 Grad.)

Als Beispiel betrachte man ein Dreieck mit zwei Ecken auf entgegengesetzten Punkten des Äquators, und der dritten Ecke im Nordpol. Dann haben wir am Äquator zwei rechte Winkel (α=β=π/2) und am Nordpol einen gestreckten Winkel (γ=π), die Innenwinkelsumme ist also 2π oder 360 Grad. Bekanntlich hat die gesamte Radius-1-Sphäre Flächeninhalt 4π; hier handelt es sich um eine Viertel-Sphäre, die also Flächeninhalt π hat. Man sieht, dass die Formel in diesem Beispiel korrekt ist. Der (recht einfache) allgemeine Beweis findet sich z.B. bei Wikipedia.

Unter Benutzung der Innenwinkelsumme gab Legendre dann also einen einfachen Beweis der Euler’schen Polyederformel für eine in Dreiecke zerlegte Sphäre, wie folgt:

wenn die Sphäre in Dreiecke D₁,D₂,D₃,… zerlegt ist (und &alpha₁,&beta₁,&gamma₁ die Innenwinkel von D₁, &alpha₂,&beta₂,&gamma₂ die Innenwinkel von D₂, usw. sind), dann ist zunächst:

4Π=Fläche(Sphäre)
=Fläche(D₁)+Fläche(D₂)+Fläche(D₃)+…
=&alpha₁+&beta₁+&gamma₁-Π+&alpha₂+&beta₂+&gamma₂-Π+&alpha₃+&beta₃+&gamma₃-Π+…
=Summe aller Innenwinkel – Anzahl der Dreiecke x Π
=Summe aller Innenwinkel – FΠ

An jeder Ecke addieren sich die Innenwinkel zu einem vollen Winkel, also zu 2π. Damit erhalten wir 4π=E2π-Fπ, also 4=2E-F.

Andererseits gehört jede Kante zu 2 Dreiecken und jedes Dreieck hat 3 Kanten, woraus 3F=2K folgt. Damit erhalten wir 2E-2K+2F=2E-3F+2F=2E-F=4, woraus die Euler’sche Polyederformel E-K+F=2 folgt, jedenfalls für eine Zerlegung der Sphäre in Dreiecke.

(Der allgemeine Fall einer beliebigen Zerlegung der Sphäre läßt sich leicht auf Zerlegungen in Dreiecke zurückführen. Nämlich, jedes n-Eck läßt sich durch Einzeichnen von n-3 Kanten in Dreiecke zerlegen. Dabei vergrößert sich die Anzahl der Flächen ebenso wie die Anzahl der Kanten um n-3, die Anzahl der Ecken bleibt gleich. Wenn also E-K+F=2 für die Zerlegung in Dreiecke gilt, dann gilt es auch für die ursprüngliche Zerlegung.)

Dieser erste Beweis von Legendre ist für meinen Geschmack auch der eleganteste. Es gibt (scheinbar) elementarere Beweise über vollständige Induktion. Zum Beispiel findet man auf Wikipedia einen Beweis mit vollständiger Induktion über die Anzahl der Kanten. Dieser benutzt aber (ebenso wie andere Induktionsbeweise über Anzahl der Ecken oder Flächen) die folgende, anschaulich einleuchtende Tatsache: auf der Sphäre zerlegt jede geschlossene Kurve die Sphäre in zwei Flächen. (Dies ist der Jordan’sche Kurvensatz.) Dies ist zwar naheliegend (und auch richtig), ein tatsächlicher Beweis für beliebige Kurven ist aber nicht einfach.

In Topologie-Vorlesungen wird Euler’s Satz in der Regel als extremer Spezialfall eines wesentlich allgemeineren Satzes von Hopf behandelt und mit einer 3-Zeilen-Rechnung hergeleitet. Für diese 3-Zeilen-Rechnung muß man allerdings wissen, was Homologiegruppen sind und man muß den Homomorphiesatz der Linearen Algebra kennen.

Ein anderer fortgeschrittener Beweis benutzt Analysis von Vektorfeldern.

Darüber hinaus gibt es auch viele einfachere Möglichkeiten, die Polyederformel zu beweisen. Auf David Eppstein’s Seite zur Euler-Formel findet man 19 verschiedene, relativ elementare, Beweise. Dies ist bei bedeutenden mathematischen Sätzen nicht ungewöhnlich. Zum Satz des Pythagoras gibt es mindestens 367 Beweise.

(Um die Beweise auf Eppstein’s Seite einzuordnen: Beweis 2-5 sind die oben erwähnten ‘Induktionsbeweise’ nach Anzahl der Ecken, Kanten oder Flächen. Beweis 6 verfolgt eine ähnliche Idee wie der Vektorfelder-Beweis. Beweis 9 ist der oben angeführte Beweis von Legendre. Der Homologiegruppen-Beweis fehlt in Eppstein’s Liste.)

Ein Kuriosum am Rande: Verrill hat gezeigt, daß die Polyederformel äquivalent zu folgender zahlentheoretischer Aussage ist: Die Anzahl der Punkte jeder Torischen Varietät über GF[p] ist kongruent 1 modulo p. Für letztere Aussage gibt es aber bisher keinen zahlentheoretischen Beweis, sondern eben nur den Beweis über die Äquivalenz zur Euler’schen Polyederformel.

Referenz:

Teil 1

Teil 2

Teil 3

Das Bild stammt von https://www.math.uni-siegen.de/~fricke/collection.