“Und, eben weil diese innere Anschauung keine Gestalt gibt, suchen wir auch diesen Mangel durch Analogien zu ersetzen, und stellen die Zeitfolge durch eine ins Unendliche fortgehende Linie vor, in welcher das Mannigfaltige eine Reihe ausmacht, die nur von einer Dimension ist, und schließen aus den Eigenschaften dieser Linie auf alle Eigenschaften der Zeit, außer dem einigen, daß die Teile der ersteren zugleich, die der letzteren aber jederzeit nacheinander sind.” (Kant: Kritik der reinen Vernunft, §6)
Bei ‘Geometrisierung’ (TvF 46) geht es darum, Flächen (oder 3-dimensionale Räume) in eine besonders regelmäßige Form zu bringen, d.h. so daß die Krümmung in jedem Punkt dieselbe ist.
Es gibt natürlich Flächen, für die das sehr einfach ist: z.B. die Oberflächen platonischer Körper, Ovale oder Ellipsoide:
Die lassen sich alle leicht in eine runde Sphäre (mit konstanter Krümmung) verformen, ohne die Topologie zu ändern:
| Dagegen weiß man, daß sich Flächen mit Henkeln (wie im Bild rechts) nicht innerhalb des dreidimensionalen euklidischen Raumes in eine Fläche konstanter Krümmung verformen lassen. |
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Seit Riemann gibt es aber ein abstrakteres Konzept von Flächen.
Statt Gauß “extrinsischer” Beschreibung gekrümmter Flächen (d.h. die gekrümmten Flächen werden mit Hilfe eines umgebenden, euklidischen Raumes beschrieben), benutzt man seit Riemann einen abstrakteren Ansatz (der ohne umgebende Räume auskommt), den wir in den letzten beiden Wochen (TvF 51 und TvF 52) beschrieben hatten.
Wir werden in den nächsten Wochen darüber schreiben, wie man mit diesem Konzept auch Flächen mit Henkeln in eine “regelmäßige Form” (wo also die Krümmung überall gleich groß ist) bringen kann.
Das ist aus ziemlich offensichtlichen Gründen (TvF 50) nicht möglich für Flächen mit Henkeln im 3-dimensionalen euklidischen Raum, aber, wie man sehen wird, eben doch, wenn man sich (nach Riemann) nicht auf Flächen a la Gauß (d.h. Flächen im 3-dimensionalen Raum) beschränkt.
Also, um einen zumindest lockeren Bezug zum Zitat oben herzustellen: man braucht noch weitere (gedachte) Umgebungsdimensionen (oder eben die abstrakte Definition von Riemannschen Mannigfaltigkeiten), um die Fläche in eine völlig regelmäßige Form zu bringen.
Übrigens kann man zwar Flächen konstanter Krümmung (mit Ausnahme der Sphäre) nicht im 3-dimensionalen euklidischen Raum finden, es gibt aber (für jede Fläche mit irgendeiner Riemannschen Metrik) eine Einbettung in einen höher-dimensionalen euklidischen Raum.
John Nash (TvF 18) hat nämlich in einer 1956 veröffentlichten Arbeit bewiesen, daß man jede n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit als Untermannigfaltigkeit eines euklidischen Raumes bekommt. Allerdings hat dieser möglicherweise eine hohe Dimension, nämlich schlimmstenfalls n(3n+11)/2 im kompakten bzw. n(n+1)(3n+11)/2 im nichtkompakten Fall. Im Fall von Flächen, n=2, kann man also eine Fläche mit Henkeln zwar nicht in den 3-dimensionalen, aber jedenfalls nach Nash in den höchstens 17-dimensionalen euklidischen Raum legen. (Ich weiß nicht, ob es im speziellen Fall von Flächen sogar noch besser geht. Lokal läßt sich jede Fläche in den 3-dimensionalen Raum einbetten. Bei positiver Krümmung sogar global. Dagegen läßt sich eine kompakte Fläche negativer Krümmung nie global in den 3-dimensionalen Raum einbetten.)
Als Student war ich ein Semester in Paris und hatte mich dort mal in die Vorlesung eines (sowohl fachlich als auch wegen seiner prononzierten Meinungsäußerungen) sehr bekannten russischen Mathematikers gesetzt. Ziemlich am Anfang der ersten Vorlesung erklärte er den Studenten, daß die an französischen Universitäten üblicherweise gelehrte Definition von ‘Gruppe’ nutzlos sei. Gruppen seien Gruppen von Permutationen irgendwelcher mathematischer Objekte. Die (wie er es nannte) ‘französische’ Definition von Gruppe (die in Wirklichkeit natürlich auch in fast jedem anderen Land so gelehrt wird) sei eine Verallgemeinerung dieses Konzepts, die aber in Wirklichkeit überhaupt keine Verallgemeinerung sei. Denn man könne ja leicht beweisen, daß jede (abstrakt definierte) Gruppe sich darstellen läßt als Untergruppe einer Permutationsgruppe.
Dasselbe kann man natürlich auch bei Riemannschen Mannigfaltigkeiten fragen. D.h. welchen Sinn Riemanns Zugang hat, wenn man nach Nash doch nichts anderes bekommt als die in einem euklidischen Raum (von evtl. hoher Dimension) liegenden Untermannigfaltigkeiten.
In beiden Fällen geht es aber bei den abstrakten Definitionen nicht darum, etwas allgemeineres zu bekommen, sondern einen Zugang, mit dem man besser arbeiten kann. Riemanns Definition ist nicht allgemeiner, aber man kann mit ihr oft besser rechnen als wenn man sich Flächen erst in einen 17-dimensionalen Raum eingebettet denkt. Würde ich sagen.
Bilder: Jos Leys: The Shape of Planet Earth
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