Topologie von Flächen CIV

π berechnen mit hyperbolischer Geometrie.

Viele überraschende Formel für π bzw. 1/π gehen auf Ramanujan zurück, der sie aus Beziehungen zwischen Modulformen (also letztlich unter Benutzung hyperbolischer Geometrie) hergeleitet hatte. Die bekannteste Formel für 1/π ist:

Aus einer solchen Reihendarstellung lassen sich natürlich viele Algorithmen zur Berechnung von π herleiten, z.B. dieser aus einer Arbeit von Borwein-Borwein-Bailey, wo mit jeder Iteration die Anzahl der korrekten Stellen ca. verfünffacht wird:

Nach nur 15 Schritten hat man bereits 2 Milliarden Stellen berechnet. (Eine explizite Beschreibung des Algorithmus unten am Ende des Beitrags als screenshot.)

Diese Formel für π folgt letztlich aus Eigenschaften von Modulfunktionen, speziell der Dedekind’schen η-Funktion η(q)=q^1/24Π_m(1-q^m) , die ja z.B. auch bei der Konstruktion von Expander-Graphen (TvF 103) oder beim Beweis von identitäten wie 534612=11¹¹+1 mod 691 (TvF 100) eine Rolle spielt.
(Das ist eine Funktion auf der hyperbolischen Ebene, wobei wir das Poincare-Modell der hyperbolischen Ebene zugrunde legen. q ist also ein Punkt im Inneren der Einheitskreisscheibe.)

Den Realteil der η-Funktion veranschaulicht dieses Bild (Farben entsprechen Funktionswerten):

Ylebra

Ramanujan’s Reihe für 1/π läßt sich (auf nichttriviale Weise) aus Eigenschaften der η-Funktion und Gleichungen zwischen Modulformen herleiten, Details werden bei Borwein-Borwein-Bailey erklärt.

Noch kurz zur Geschichte der π-Berechnung:

Erste Näherungen gab es schon in der Antike, das kann man kurz zusammengefaßt im Wikipedia-Artikel nachlesen. (Im Alten Testament wird übrigens in 1.Könige 7, 23 noch π=3 gesetzt.)

Eine nur sehr langsam konvergierende Reihe zur Berechnung von π ist die Leibniz-Reihe. (Im Tübinger Differentialgeometrie-Seminar habe ich mal einen Vortrag des Indologen Eberhard Guhe darüber gehört, daß die Leibniz-Reihe indischen Mathematikern schon um 1400 bekannt war.)

Ferdinand Lindemann bewies 1883, daß π transzendent ist und Kurt Mahler bewies 1953, daß sich π nicht (im Liouville-Sinn) gut durch rationale Zahlen approximieren läßt.

Bis in die 70er Jahre beruhten die meisten Berechnungen von π auf der Machinschen Formel

.
(Damals konnte man auch nur gut 100.000 Stellen berechnen.)

Erst durch die Wiederbeschäftigung mit Ramanujans Arbeiten setzte dann ab Anfang der 80 er Jahre ein wahrer Rekord-Boom ein. Zum Beispiel benutzte William Gosper Ramanujan’s Formel 1985 zur Berechnung von 17 Millionen Stellen.

Auch das ist inzwischen längst obsolet. 1989 wurde erstmals 1 Milliarde Stellen berechnet, 1991 schafften die Chudnovskys 2 Milliarden Stellen, 2002 berechnete Kanada (kein Kanadier, sondern ein Japaner) eine Billion Stellen und der neueste Rekord (seit Silvester 2009) steht bei knapp 2,7 Billionen Stellen durch den französischen Programmierer Fabrice Bellard.

Warum will man π so genau berechnen? Dazu schreiben Borwein-Borwein in ihrem Artikel “Srinivasa Ramanujan und die zahl Pi”, erschienen 1988 in SdW:

Schon 39 Dezimalstellen von π reichen aus, den Umfang eines Kreises, der das bekannte Universum umspannt, bis auf den Radius eines Wasserstoffatoms genau zu bestimmen. Daß eine physikalische Fragestellung noch höhere Genauigkeit erfordert, ist kaum vorstellbar. Warum also sind Mathematiker und Computerwissenschaftler nicht mit den ersten 50 Stellen von π zufrieden?

Darauf gibt es mehrere Antworten. Zum einen ist die Berechnung von π eine Art Standardaufgabe für Compute geworden und dient als Maß für deren Leistung und Zuverlässigkeit. Zum zweiten führt die Jagd nach immer genaueren π-Werten die Mathematiker auf interessante und unerwartete Teilgebiete der Zahlentheorie. Ein drittes Motiv ist schlicht, daß es π gibt; immerhin ist diese Zahl seit mehr als 2500 Jahren Bestandteil der mathematischen Kultur.

Schließlich gibt es immer die Chance, daß solche Berechnungen einige der Rätsel um die Zahl π aufklären, denn über diese universelle Konstante weiß man trotz ihrer ziemlich elementaren Beschaffenheit noch lange nicht alles. Zum Beispiel ist zwar bewiesen, daß π keine algebraische Zahl ist; das heißt, sie kann niemals exakt berechnet werden, indem man endlich viele Kombinationen der vier Grundrechenarten und des Wurzelziehens auf natürliche Zahlen anwendet. Andererseits hat noch niemand beweisen können, daß die Ziffern von π gleichverteilt sind, das heißt, daß jede der Zahlen 0 bis 9 gleich häufig darin vorkommt. es ist darum möglich, wenn auch höchst unwahrscheinlich, daß ab einer gewissen Stelle nur noch 0 und 1 vorkommen oder irgendeine andere Regelmäßigkeit auftritt.

Obendrein taucht π immer wieder an ganz unerwarteten Stellen auf, die mit Kreisen überhaupt nichts zu tun haben. Zerlegt man zum Beispiel eine beliebige ganze Zahl in Primfaktoren, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß kein Faktor zweimal vorkommt, gleich 6/π².

Die Folge 314159265358 (d.h. die ersten 12 Ziffern) kommt übrigens an der 1.142.905.318.634. Nachkommastelle zum ersten Mal wieder vor.
Die Frage, ob alle Ziffern in π gleich häufig vorkommen, ist offen. Bailey-Crandall haben gezeigt, daß sie sich zurückführen läßt auf Probleme in der Ergodentheorie auf S¹.

Hier noch die explizite Beschreibung des Borwein-Borwein-Bailey-Algorithmus: