Fixpunkte und der 2-Quadrate-Satz.

Letzte Woche hatten wir über die Anwendung von Modulformen auf den 2-Quadrate-Satz geschrieben, also auf die Frage:
“Welche Primzahlen lassen sich als Summe zweier Quadratzahlen zerlegen?”

Der schwierige Fall ist dabei der von Primzahlen p=4k+1, denn man sieht leicht, daß 2 sich zerlegen läßt und Primzahlen der Form p=4k+3 nie als Summe zweier Quadatzahlen zerlegt werden können.

Neben den letzte Woche erwähnten gibt es noch eine Reihe weiterer Beweise dafür, daß sich jede Primzahl der Form p=4k+1 als Summe zweier Quadrate zerlegen läßt.
Der wohl kürzeste stammt von Heath-Brown (hier als pdf) und wurde in etwas kompakterer Form von Zagier aufgeschrieben.

Dieser kürzeste Beweis läßt sich auf einen “Fixpunktsatz für Involutionen” zurückführen, der sich mit ein wenig gutem Willen topologisch interpretieren läßt, weshalb er auch hier in die Topologie-Reihe paßt.

Involutionen und Fixpunkte

Eine Involution (einer Menge S) ist eine Abbildung f:S–>S mit der Eigenschaft f(x)=y <==> f(y)=x. Ein Beispiel ist f(x) = – x, denn natürlich hat man – x = y <==> – y = x.
Eine Involution f einer Menge S gibt einem eine Zerlegung der Menge in Paare {x,y} (mit f(x)=y,f(y)=x) und in Fixpunkte von f, also Punkte x mit f(x)=x.

Der Beweis des 2-Quadrate-Satzes wird daraus folgen, daß eine bestimmte Involution f (einer bestimmten endlichen Menge S) mindestens einen Fixpunkt hat.

Wir hatten z.B. in TvF32, TvF 33 TvF 35 oder TvF 37 schon Fixpunktsätze wie den Brouwerschen oder den Banachschen Fixpunktsatz besprochen, die unter bestimmten Voraussetzungen garantieren, daß eine stetige Abbildung einen Fixpunkt hat.

Hier, beim Beweis des 2-Quadrate-Satzes, wird man aber nur einen viel einfacheren Fixpunktsatz brauchen: wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, dann hat jede Involution f:S–>S einen Fixpunkt.
Begründung dieses ‘Fixpunktsatzes’: man hat eine Zerlegung von S in Paare {x,y} (mit f(x)=y, f(y)=x) und in Fixpunkte (mit f(x)=x). Die Anzahl der in Paaren auftretenden Punkte ist natürlich gerade. Wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, muß es also eine ungerade Anzahl von Fixpunkten geben. (Insbesondere gibt es mindestens einen Fixpunkt.)

Beweis des 2-Quadrate-Satzes

Zunächst: es geht um Lösungen von x²+y²=p. Eine der beiden Zahlen x,y muß gerade sein, sagen wir y. Wir können y durch y/2 ersetzen und man kann also auch gleich nach Lösungen von x² + 4y² = p suchen.

Oder, komplizierter ausgedrückt, nach Lösungen von x² + 4yz = p mit y=z.
(Im folgenden sind x,y,z immer natürliche Zahlen.)

Was hat man mit dieser komplizierteren Darstellung gewonnen? Man kann das ganze als Fixpunktproblem auffassen: auf der (endlichen) Menge S={(x,y,z):x²+4yz=p} sucht man nach Fixpunkten der “Involution” f(x,y,z)=(x,z,y).
(Ein Fixpunkt (x,y,z) ist eine Lösung von f(x,y,z)=(x,y,z). Hier also (x,z,y)=(x,y,z), was zu y=z äquivalent ist.)

Die Idee ist nun folgende : wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, dann muß jede Involution f:S–>S einen Fixpunkt haben (siehe oben).
Umgekehrt, wenn es (irgendeine) Involution mit einer ungeraden Anzahl von Fixpunkten (z.B. genau einem Fixpunkt) gibt, dann hat S eine ungerade Anzahl von Elementen.

Um zu beweisen, daß f:S–>S einen Fixpunkt hat, genügt es also, irgendeine andere Involution g:S–>S anzugeben, die eine ungerade Anzahl von Fixpunkten hat.

Eine solche Abbildung g:S–>S wurde 1990 von Don Zagier in der Arbeit “A One-Sentence Proof That Every Prime p=1 (mod 4) Is a Sum of Two Squares” angegeben (womit er den Original-Beweis von Heath-Brown in kompakterer Form zusammenfaßt).

Die Involution g:S–>S ist definiert mit einer Fallunterscheidung:

für x ≤ y-z setze g(x,y,z)=(x+2z,z,y-x-z)
für y-z ≤ x ≤ 2y setze g(x,y,z)=(2y-x,y,x-y+z)
für x > 2y setze g(x,y,z)=(x-2y,x-y+z,y).

(Man muß natürlich erst nachrechnen, daß für (x,y,z) aus S, d.h. x²+4yz=p, auch g(x,y,z) wieder zu S gehört.)

Wenn p eine Primzahl der Form p=4k+1 ist, dann ist (1,1,k) ein Element aus S und man prüft leicht nach, daß (1,1,k) der einzige Fixpunkt (in S) der Abbildung g ist.
(Man sieht leicht, daß es im 1. und 3. Fall keine Fixpunkte gibt. Im 2. Fall muß für jeden Fixpunkt x=y gelten. Weil x dann ein Teiler der Primzahl p=x²+4xz ist, folgt x=1.)

Daraus folgt dann, wie gesagt, daß auch die Involution f(x,y,z)=(x,z,y) einen Fixpunkt haben muß, also ein Tripel (x,y,z) in S mit y=z.
Tripel in S sind Lösungen von x²+4yz=p, Fixpunkte von f sind also Lösungen von x²+4y²=p. Wir bekommen also eine Zerlegung von p als Summe zweier Quadratzahlen.

Topologische Interpretation

Mit ein wenig gutem Willen kann man den oben verwendeten Fixpunktsatzes topologisch interpretieren, nämlich als Spezialfall eines allgemeinen Fixpunktsatzes für Involutionen (beliebiger Räume S):
Wenn die Euler-Charakteristik von S ungerade ist, dann hat jede stetige Involution f:S–>S mindestens einen Fixpunkt.

Wenn S eine endliche Menge ist, dann ist die Euler-Charakteristik einfach die Anzahl der Punkte (und jede Abbildung ist stetig) und man bekommt den oben verwendeten Fixpunktsatz.

Oder in Zagiers Worten:

the basic principle we used: “The cardinalities of a finite set and of its fixed-point set under any involution have the same parity”, is a combinatorial analogue and special case of the corresponding topological result: “The Euler characteristics of a topological space and of its fixed-point set under any continuous involution have the same parity.”

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D. R. Heath-Brown (1984): Fermat’s two-squares theorem. Invariant 1984, 3–5; per bibl.
Zagier, D. (1990). A One-Sentence Proof That Every Prime p≡1(\mod 4) Is a Sum of Two Squares The American Mathematical Monthly, 97 (2) DOI: 10.2307/2323918