Matrizen, Flüsse und Knoten im Lorenz-Attraktor.
Letzte Woche ging es um Lorenz-Knoten, also Knoten im Lorenz-Attraktor, und vor 3 Wochen über den geodätischen Fluß auf der Modulfläche H2/SL(2,Z).
Dieser geodätische Fluß fließt auf dem Komplement der Kleeblattschlinge (eigentlich auf dem Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche, aber das ist dasselbe wie das Komplement der Kleeblattschlinge, siehe TvF 112).
Die periodischen Flußlinien dieses Flusses nennt man modulare Knoten.
Die Kleeblattschlinge kommt auch als Knoten im Lorenz-Attraktor vor (violett):
Überraschenderweise kommen auch alle anderen modularen Knoten (und nur diese) im Lorenz-Attraktor vor. Warum?
Der ‘klassische’ Zugang zur Untersuchung von periodischen Flusslinien im Lorenz-Attraktor geht auf Guckenheimer-Williams zurück: man findet ein ‘Template’, d.i. eine (verzweigte) Fläche, so dass alle periodischen Flusslinien im Lorenz-Attraktor sich als periodische Flusslinien eines Flusses auf dem Template wiederfinden lassen.
Im Fall des Lorenz-Attraktors sieht die Fläche aus wie im Bild unten:
https://www.josleys.com/show_image.php?galid=306&imageid=9296
Die Fläche ist verzweigt entlang der roten Linie. (Die violetten Linien sind Flußlinien des Flusses.) Wenn man die rote Linie (passend) als Intervall [0,1] auffaßt, dann entspricht die Rückkehrabbildung des Flusses gerade der Abbildung x–>2x mod 1. (D.h. wenn man im Punkt x der roten Linie startet, ist der nächste Schnittpunkt der violetten Flußlinie mit der roten Linie im Punkt 2x mod 1. Z.B. wenn man in 0,3 startet, schneidet man das nächste Mal in 0,6, dann in 0,2, dann in 0,4, 0,8, 0,6, und ab da wiederholt es sich periodisch.)
Die periodischen Orbits dieser Abbildung x–>2x mod 1 kann man mit relativ elementaren Mitteln untersuchen und Birman-Williams benutzen das, um herauszufinden, welche Knoten als periodische Flußlinen in dieser verzweigten Fläche (und damit letztlich im Lorenz-Attraktor) vorkommen.
Überraschenderweise hat Ghys (in Kapitel 3.5 seines ICM-Vortrags) gezeigt: man kann die selbe verzweigte Fläche benutzen, um auch die modularen Knoten zu beschreiben.
(Eigentlich betrachtet er nicht den geodätischen Fluß auf der Modulfläche, sondern er deformiert die hyperbolische Metrik der Modulfläche zu einer hyperbolischen Metrik von unendlichem Volumen, deren geodätischer Fluß sich besser beschreiben läßt. Man bekommt aber dieselben Knoten als Flußlinien dieser deformierten Metrik. Er konstruiert für diesen Fluß ein ‘Template’, das genau mit dem Birman-Williams-‘Template’ des Lorenz-Attraktors übereinstimmt. Insbesondere bekommt man dieselben periodischen Flußlinien.)
Also: modulare Knoten = Lorenz-Knoten.
Damit erhält man eine explizite Beschreibung der Knoten im Lorenz-Attraktor:
in TvF 75 hatten wir mal beschrieben, daß man den geodätischen Fluß auf hyperbolischen Flächen durch Multiplikation mit 2×2-Matrizen beschreiben kann.
Speziell für die Modulfläche H2/SL(2,Z) sind die periodischen Flußlinien diejenigen, die durch Multiplikation mit (Potenzen von) Matrizen aus SL(2,Z) entstehen. Jede Matrix aus SL(2,Z) liefert also einen modularen Knoten und damit auch einen Knoten im Lorenz-Attraktor. Einige Beispiele zeigt das Bild unten (von Jos Leys):
https://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-lorenz
Video und Folien zu Ghys’ ICM-Vortrag.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116
Ghys, �. (2009). Right-handed vector fields & the Lorenz attractor Japanese Journal of Mathematics, 4 (1), 47-61 DOI: 10.1007/s11537-009-0854-8
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