“He (Dodgson) knows a man whose feet are so large that he has to put on his trousers over his head.” (E.L.Hicks)
Im letzten ernstgemeinten Beitrag hatten wir uns mit der Frage beschäftigt, wie der ‘Raum aller hyperbolischen Metriken’ auf einer Fläche mit g Henkeln aussieht und wir hatten plausibel gemacht, daß dieser Raum 6g-6-dimensional sein sollte.
Nämlich, eine hyperbolische Metrik auf der g-henkligen Fläche entsprach einer Pflasterung der hyperbolischen Ebene durch 4g-Ecke – und ein ‘dimension count’ zeigte dann, daß solche Pflasterungen durch 6g-6 Parameter beschrieben werden.
|
Bild: mathworld |
==========> |
Für topologische Zwecke, insbesondere für die Veranschaulichung der universellen Überlagerung ist die Darstellung der Fläche durch das 4g-Eck hilfreich, für die Veranschaulichung der verschiedenen hyperbolischen Metriken ist aber eine andere Zerlegung der Fläche besser geeignet, nämlich die Hosen-Zerlegung.
Eine ‘Hose’ (engl.: ‘pair of pants’) ist die unten abgebildete Fläche mit 3 Randkomponenten
das ist die Fläche, die man bekommt, wenn man aus einer Sphäre drei Kreisscheiben herausschneidet.
Jede Fläche läßt sich in Hosen zerlegen –
das Bild unten zeigt eine Zerlegung der Fläche mit g=3 Henkeln in 4 Hosen.
Ähnlich läßt sich eine Fläche mit g Henkeln (für g>1) in 2g-2 Hosen zerlegen.
(Bei dieser Zerlegung kommen 3g-3 Kurven vor.)
Wieviele hyperbolische Metriken (so daß der Rand aus Geodäten besteht) gibt es auf einer Hose?
Man kann die Hose wie unten abgebildet in ein rechtwinkliges Sechseck zerschneiden
Bilder: Hyperbolic Geometry Notes
und hat damit die Frage nach hyperbolischen Metriken auf Hosen zurückgeführt auf die Frage nach rechtwinkligen hyperbolischen Sechsecken.
Mit einem relativ elementar-geometrischen Beweis kann man zeigen, daß es zu je 3 positiven Zahlen a,b,c ein rechtwinkliges hyperbolisches Sechseck gibt, dessen rote Kanten die Längen a,b,c haben – und daß dieses rechtwinklige hyperbolische Sechseck durch die Zahlen a,b,c eindeutig bestimmt ist. (Beweis z.B. hier.)
Zurückübersetzt vom Sechseck zur Hose heißt das: zu je 3 positiven Zahlen a,b,c gibt es eine hyperbolische Metrik auf der Hose, so dass die Randkurven der Hose die Längen a,b,c haben.
Der ‘Raum der hyperbolischen Metriken auf der Hose’ (der Teichmüller-Raum der Hose) ist also 3-dimensional.
Wenn man sich jetzt die g-henklige Fläche in Hosen zerlegt denkt, wie im 2.Bild oben, dann kommen dabei 3g-3 zerlegende Kurven (Rand-Kurven von Hosen) vor, deren Längen also freie Parameter sind.
Es gibt aber noch 3g-3 weitere freie Parameter – man hat ja verschiedene Möglichkeiten, Hosen mit gleichlangen Rand-Kurven zusammenzukleben, man kann sozusagen die eine jeweils gegen die andere verdrehen – und diese Möglichkeit des Drehens, die man ja an jeder der 3g-3 zerlegenden Kurven hat, liefert noch einmal 3g-3 freie Parameter.
(Die Drehwinkel können beliebige reelle Zahlen sein, auch größer als 2π. Tatsächlich handelt es sich bei den Verklebungen um Dehn-Twists, wie wir sie im letzten Teil von TvF 132 beschrieben hatten.)
<
Insgesamt also hat man 6g-6 Parameter, von denen die hyperbolische Metrik auf der g-henkligen Fläche abhängt. Der Teichmüller-Raum der hyperbolischen Metriken sollte also 6g-6-dimensional sein.
(Auch das ist natürlich, wie schon der ‘dimension count’ in TvF 147, ein Plausibilitätsargument, zumal wir überhaupt noch gar keine präzise Definition der Topologie auf dem Teichmüller-Raum auf dem hyperbolischen Metriken überhaupt ist.
Zumindest ist die Dimension des Teichmüller-Raums, die wir hier durch Abzählen der freien Parameter bestimmt haben, aber dieselbe wie wir sie in TvF 147 durch Abzählen der freien Parameter von Pflasterungen bestimmt haben. Und diesmal haben wir jedenfalls eine Bijektion zwischen dem Teichmüllerraum und R6g-6, gegeben durch die Logarithmen der 3g-3 Längen und die 3g-3 Twistparameter.)
Diese 6g-6 Parameter (also die Längen der 3g-3 zerlegenden Kurven und die Twistwinkel an diesen Kurven) heißen Fenchel-Nielsen-Koordinaten des Teichmüller-Raums.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, TvF 145, TvF 146, TvF 147, TvF 148
Letzte Kommentare