Bei einer gemessenen Laminierung hat man zusätzlich noch ein Maß auf transversalen Kurven.
Es stellt sich nun heraus, daß der Raum der gemessenen Laminierungen 6g-6-dimensional ist.
Bzw. wenn man zwei gemessene Laminierungen μ1, μ2 identifiziert falls (für die transversalen Maße) gilt μ1=λμ2 für ein λ>0, dann bekommt man eine 6g-7-dimensionale Sphäre, die man mit PML(S) bezeichnet.
Zumindest von den Dimensionen paßt es also zusammen: einen 6g-6-dimensionalen Raum kann man durch eine 6g-7-dimensionale Sphäre vervollständigen, so daß das Ergebnis eine 6g-6-dimensionale (kompakte) Kugel ist.
Aber man will natürlich, daß f* auch auf dieser Vereinigeung noch stetig wirkt (z.B. um später den Brouwerschen Fixpunktsatz anweden zu können) und dafür sollte man diese Vereinigung auf eine ‘natürliche’ Weise konstruieren.
Diese ‘natürliche’ Konstruktion in Thurstons Arbeit besteht darin, beide Räume als Teilmengen eines bestimmten (unendlich-dimensionalen) projektiven Raumes aufzufassen.
Letzte Woche hatten wir n-dimensionale projektive Räume beschrieben: Die bekam man, in dem man auf einer n-dimensionalen Sphäre jeweils gegenüberliegende (“antipodale”) Punkte identifiziert. Oder äquivalent: indem man auf Rn+1 – {0} jeweils Punkte x,y identifiziert, für die y=λx mit &lambda aus R ist. (Würde man Punkte x,y nur dann identifizieren, wenn y=λx mit &lambda>0, dann bekäme man die n-dimensionale Sphäre.)
Thurston betrachtet nun einen unendlich-dimensionalen projektiven Raum:
Sei K die (unendliche) Menge aller geschlossenen Kurven auf der Fläche S (wobei wir homotope Kurven als gleich ansehen). Dann betrachte man den von dieser Menge K erzeugten reellen Vektorraum RK (d.h. ein Punkt im Vektorraum ist ein Tupel, wo jeder Kurve k eine reelle Zahl zugeordnet wird). Und dann identifiziert man Vektoren, die durch Multiplikation mit einem λ aus R einander entsprechen, man bekommt einen unendlich-dimensionalen projektiven Raum.
In diesen unendlich-dimensionalen projektiven Raum bettet Thurston nun sowohl den Teichmüller-Raum als auch PML(S) ein:
– jeden Punkt im Teichmüller-Raum, also jede hyperbolischen Metrik g auf S, bildet er auf das Tupel in RK ab, dessen Eintrag bei der Kurve k die Länge lg(k) dieser Kurve in der hyperbolischen Metrik g ist.
Die Abbildung g —> lg(k) ist injektiv, denn durch die Längen aller Kurven ist die hyperbolische Metrik eindeutig bestimmt.
– für gemessene Laminierungen μ1 definiert er eine Schnittzahl mit Kurven k, die die übliche Schnittzahl zweier Kurven auf naheliegende Weise verallgemeinert (d.h. wenn die Laminierung nur aus einer Kurve besteht, bekommt man die übliche Schnittzahl).
Jede gemessene Laminierung μ wird dann auf das Tupel in RK abgebildet, dessen Eintrag bei der Kurve k die Schnittzahl von μ mit k ist.
Und auch diese Abbildung ist injektiv und beide Abbildungen bleiben injektiv, wenn man mit der Projektion von RK – {0} auf den projektiven Raum verknüpft.
Theorem 3 aus Thurstons Arbeit besagt dann, daß die Vereinigung aus dem (Bild des) Teichmüller-Raums und dem (Bild von) PML(S) in diesem unendlich-dimensionalen projektiven Raum gerade die Kompaktifizierung des (Bildes des) Teichmüller-Raums in diesem projektiven Raum ist.
Angewandt wird diese Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums bei der Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen, dazu nächste Woche.
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