Falls die Laminierung “rational” ist, kann man zeigen, daß f reduzibel sein muß. Falls die Laminierung nicht rational, aber λ=1 ist, kann man zeigen, daß f periodisch ist.
Der häufigtse Fall ist aber, daß die Laminierung nicht rational und λ nicht 1 ist. Dieser Fall ist der interessanteste und schwierigste und in diesem Fall hat Thurston bewiesen, daß es eine “stabile Laminierung” und eine andere “instabile Laminierung” gibt, so daß die Abbildung f jeweils Blätter auf Blätter abbildet und so, daß Abstände auf den Blättern der instabilen Laminierung um einen Faktor λ>1 vergrößert werden, während Abstände auf den Blättern der instabilen Laminierung um den Faktor 1/λ<1 verringert werden.
Das sieht dann also so ähnlich aus wie bei der bekannten Katzenabbildung des Torus (TvF 143), wo die Katze in eine Richtung gedehnt und in eine andere Richtung gestaucht wird.
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Diese Abbildungen heißen Pseudo-Anosov (als Verallgemeinerung der oben abgebildeten Anosov-Abbildung des Torus) und ihre stabilen/instabilen Laminierungen sind ein sehr nützliches Hilfsmittel.
Man kann die stabilen/instabilen Laminierungen mit dem Computer berechnen: man starte mit einer beliebigen geschlossenen Kurve C, dann werden die Bildkurven f(C), f(f(C)), f(f(f(C))), f(f(f(f(C)))), … immer komplizierter wie im Bild oben und konvergieren letztlich gegen die stabile Laminierung. Entsprechend für f-1(C), f-1(f-1(C)), f-1(f-1(f-1(C))), f-1(f-1(f-1(f-1(C)))), … , diese konvergieren gegen die instabile Laminierung.
Fußnote: Dieser Artikel enthält ein umfangreiches Selbstplagiat.
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