Topologie von Flächen CXCVIII

Euler-Preis für gehäkelte hyperbolische Ebenen.

Heute mal außer der Reihe, aber zum Thema der Serie passend, etwas aktuelles: ein Buch über hyperbolische Ebenen, “Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes” von Daina Taimina, wurde letzten Freitag als Gewinner des Euler-Preises bekanntgegeben.

Die MAA vergibt seit 5 Jahren den Euler Book Prize (gestiftet von Paul Halmos) für Bücher über Mathematik. Letztes Jahr ging er an den Princeton Companion of Mathematics und vor 2 Jahren an “Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology” von David Richeson. Dieses Jahr also “Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes”.

Das Buch hatte bereits 2009 den Diagram-Preis (Diagram Prize for Oddest Title of the Year) gewonnen.

Einen ersten Eindruck, worum es inhaltlich geht, kann man aus einem 10 Jahre alten Artikel der Autorin mit David Henderson im Mathematical Intelligencer bekommen, der hier online ist. Der erste Absatz der Einleitung:

In June of 1997, Daina was in a workshop watching the leader of the workshop, David, helping the participants study ideas of hyperbolic geometry using a paper and tape surface in much the same way that one can study ideas of spherical geometry by using the surface of a physical ball. David’s hyperbolic plane was then so tattered and fragile that he was afraid to handle it much. Daina immediately began to think: “There must be some way to make a durable model.” David made his first paper hyperbolic plane in the summer of 1978 while on canoe trip on the lakes of Maine using the scissors on his Swiss Army knife. He had just learned how to do the construction from William Thurston at a workshop at Bates College. This crude paper surface was used in the David’s geometry classes and workshops (becoming more and more tattered) until 1986 when some high school teachers in a summer program that David was leading collaborated on a new larger paper and tape hyperbolic surface. This second paper and tape hyperbolic surface (used in classes and workshops for the next 11 years) was the one that Daina witnessed in use. Daina experimented with knitting (but the result was not rigid enough) and then settled on crocheting. She perfected her technique during the workshop and crocheted her first small hyperbolic plane and then while camping in the forests of Pennsylvania, she crocheted more and we started exploring its uses. In this paper we will share how to crochet a hyperbolic plane (and make related paper versions). We will share how we have used it to increase our own understanding of hyperbolic geometry. (Where does the formula pr2 fit in hyperbolic geometry?) We will finish by proving that, in fact, it is an isometric model of the hyperbolic plane.

Worum geht es mathematisch?
Häufiges Thema hier in der Reihe war ja die hyperbolische Ebene, also die einfach zusammenhängende Fläche mit einer vollständigen Metrik, deren Schnittkrümmung konstant -1 ist.
Nach einem Satz von Cartan gibt es nur eine solche Fläche. (Es gibt zwar unterschiedliche Modelle der hyperbolischen Ebene, aber die sind alle zueinander isometrisch.)

Hier in der Reihe kam die hyperbolische Ebene meist vor als universelle Überlagerung der (geschlossenen) Flächen mit mindestens 2 Henkeln. Um diesen Aspekt geht es aber in der Häkel-Geschichte erstmal nicht, sondern dort geht es darum, die hyperbolische Ebene konkret in unserem 3-dimensionalen euklidischen Raum zu realisieren. (Und zwar als ‘isometrische Einbettung’ , d.h. so, daß Abstände erhalten bleiben. Das Bild oben ist keine isometrische Einbettung in den euklidischen Raum, denn die hyperbolischen Abstände sind in der Nähe des Randes viel größer als die euklidischen Abstände zwischen den Punkten.)

Nun besagt ein bekannter Satz von Hilbert eigentlich, daß es keine isometrischen Einbettungen der hyperbolischen Ebene in den euklidischen Raum geben kann. Allerdings geht es bei diesem Satz um glatte Einbettungen, wenn man sich Hilberts Beweis anschaut, sieht man daß 4.Ableitungen vorkommen, der Beweis also nur für 4-mal differenzierbare Abbildungen funktioniert. Klotz-Milnor hatte 1972 bewiesen, daß es auch keine 2-mal differenzierbaren isometrischen Einbettungen geben kann.
Es gibt aber 1-mal differenzierbare isometrische Einbettungen. Tatsächlich hat Kuiper 1955 bewiesen: wenn eine offene n-Mannigfaltigkeit in den R^N 1-mal differenzierbar eingebettet werden kann, dann hat sie sogar eine isometrische 1-mal differenzierbare Einbettung in den R^N+1. Mit n=N=2 bekommt man damit die isometrische 1-mal differenzierbare Einbettung von H² in R³. (Kuiper verbesserte damit einen Satz von Nash. Einen Überblick über den Beweis des Nash-Kuiper-Theorems findet man hier.)
Die beim Häkeln benutzten Einbettungen sind nicht differenzierbar, aber immerhin noch stetig. Die Konstruktion wird im Artikel von Henderson und Tamina beschrieben.

Historisch wäre noch anzumerken, daß die erste Konstruktion der hyperbolischen Ebene 1868 durch Beltrami (TvF 54) ebenfalls eine in den euklidischen Raum eingebettete Fläche benutzte, nämlich die oben abgebildete Pseudosphäre. (Lobatschewski und Bolyai hatten, anders als oft dargestellt, kein explizites Modell der hyperbolischen Ebene, sondern nur aus den Axiomen der hyperbolischen Geometrie eine umfangreiche und widerspruchsfreie Theorie hergeleitet.) Diese Pseudosphäre ist aber nicht vollständig. (Geodäten gehen in endlicher Zeit gegen Unendlich.) Wenn man die Metrik vollständig machen will, ergeben sich die Korallenriffbilder:

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197