Einmal oder zweimal differenzierbar? Numerische Konstruktionen, flache Tori im euklidischen Raum und fraktale Normalenvektoren.

Differenzierbare Flächen

In den letzten Monaten hatten wir häufig die Differenzierbarkeit von Flächen benutzt. Zum Beispiel hatten wir vor 2 Wochen die Klassifikation der Flächen mittels Morsetheorie bewiesen.
Dieser morsetheoretische Beweis (via Henkelzerlegung) funktioniert eigentlich nur für differenzierbare Flächen, denn die Morsetheorie benutzt Morse-Funktionen, die per Definitionem (TvF 209) mindestens zweimal differenzierbar sein müssen, denn sie definieren sich ja über die Nicht-Entartetheit der 2.Ableitung in ihren kritischen Punkten.
Mit Morse-Theorie bekommt man also eigentlich erstmal nur eine Klassifikation der glatten Flächen. Aber weil wir in TvF 187 ja gesehen hatten, dass jede Fläche eine differenzierbare Struktur hat, liefert einem das dann automatisch auch eine Klassifikation der Flächen überhaupt.

Umgekehrt bekommt man aus der morsetheoretischen Klassifikation der differenzierbaren Flächen automatisch auch, dass es auf jeder Fläche nur eine eindeutige Differentialstruktur gibt (und nicht mehrere wie z.B. auf Milnors exotischen Sphären).

Es gibt also aus topologischer Sicht eigentlich keinen Unterschied zwischen topologischen oder glatten Flächen, und auch nicht z.B. zwischen 1- oder 2-mal differenzierbaren.

Trotzdem gibt es in der Geometrie durchaus Unterschiede zwischen 1-maliger und 2-maliger Differenzierbarkeit, zum Beispiel wenn man sich für die Frage der Einbettbarkeit von Flächen in den euklidischen Raum interessiert.

Einbettungen des flachen Torus

In TvF 63 hatten wir mal gesehen, dass es auf dem Torus eine flache Metrik gibt (d.h. eine Metrik, deren Krümmung überall 0 ist) und dass man diese flache Metrik z.B. mit einer Einbettung des Torus in den R⁴ bekommt.

Kann man eine flache Metrik auch mit einer Einbettung in den R³ bekommen?

Natürlich kann man einen Torus in den 3-dimensionalen euklidischen Raum einbetten:

Aber bei dieser Einbettung gibt es auf jeden Fall Punkte mit positiver Krümmung, wie bei jeder in den R³ (2-mal differenzierbar) eingebetteten geschlossenen Fläche: Man nehme einen Punkt mit maximaler z-Koordinate, d.h. den “obersten Punkt” der Fläche. Es folgt dann leicht aus der Formel für die Krümmung (TvF 48), daß die Krümmung in diesem Maximum positiv ist.

Nun kommen in der Formel für die Berechnung der Krümmung zweite Ableitungen vor und insofern funktioniert der Beweis im vorigen Absatz nur für 2-mal differenzierbare Einbettungen. D.h. wenn man eine 2-mal differenzierbare Einbettung einer geschlossenen Fläche in den R³ hat, dann ist die Krümmung in den Extrempunkten positiv.

Insbesondere gibt es keine 2-mal differenzierbare isometrische Einbettung eines flachen Torus in den R³.

Man sollte annehmen, dass das auch für 1-mal differenzierbare Einbettungen so ist, dass man nur den Beweis etwas modifizieren muss. Das ist aber nicht der Fall:

Nach einem (allgemeineren) Satz von Nash und Kuiper gibt es 1-mal differenzierbare isometrische Einbettungen des flachen Torus in den R³.

Einen ähnlichen Effekt hatten wir mal (in TvF 198) für Einbettungen der hyperbolischen Ebene in den R³. Die kann es (aus anderen Gründen, nämlich dem Satz von Hilbert bzw. dessen Verfeinerung durch Klotz-Milnor) nicht 2-mal differenzierbar geben (Hilberts ursprünglicher Beweis lieferte nur die Unmöglichkeit einer 4-mal differenzierbaren Einbettung), es gibt aber 1-mal differenzierbare isometrishe Einbettungen der hyperbolischen Ebene in den R³.

Konvexe Integration

Gromov formulierte Anfang der 70er Jahre ein allgemeines h-Prinzip, d.h. einen allgemeinen Satz über die Lösbarkeit bestimmter in der Geometrie vorkommender Partieller Differential (Un)Gleichungen. Als Spezialfall seines h-Prinzips ergab sich auch der Satz von Nash-Kuiper über 1-mal differenzierbare Einbettungen des Torus in den R³.

Eine der von Gromov entwickelten Methoden zum Beweis von h-Prinzipien war die sogenannte “konvexe Integration”, die im Prinzip auch ein iteratives Verfahren zur Konstruktion der Lösungen liefert. Trotzdem hatte wohl 40 Jahre lang niemand versucht, eine 1-mal differenzierbare Einbettung des Torus in den R³ auch explizit zu konstruieren.

Numerische Umsetzung

In einer in der aktuellen Ausgabe der Proc.Nat.Acad.Sci. veröffentlichten Arbeit “Flat tori in three-dimensional space and convex integration” von Borrelli-Jabrane-Lazarus-Thibert (aus der auch obiges Bild stammt) wird nun mittels konvexer Integration ein Algorithmus zur expliziten Konstruktion eines einmal differenzierbaren flachen Torus im R³ entwickelt. Das ist wohl überhaupt das erste Mal, dass in einer Arbeit “konvexe Integration” numerisch umgesetzt wurde.
(Einen populärwissenschaftlichen Einstieg in die Arbeit gibt dieser Artikel von Vincent Borrelli, auf Französisch).
Weil der eingebettete Torus ja nur einmal, nicht zweimal differenzierbar sein darf, sehen die Bilder zwangsweise etwas ‘fraktal’ aus. (Die Autoren schreiben, dass in einem präziseren Sinne die Normalvektoren des Torus fraktales Verhalten zeigen.)
Das Bild unten zeigt die ersten 4 Iterationsschritte der Konstruktion.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229