Minimalflächen werden ja gerne mal durch Seifenblasen veranschaulicht (auch wenn Seifenblasen in Wirklichkeit meist anders mathematisch modelliert werden).

Seifenblasen sind aber natürlich Minimalflächen mit (vorgegebenem) Rand, Lösungen des sogenannten Plateauproblems, das schon in den 30er Jahren gelöst wurde.

Mathematisch schwieriger ist es Minimalflächen ohne Rand zu finden.

In TvF 233 hatten wir die Minimalflächen im R³ beschrieben, jedenfalls soweit bekannt.

Die waren alle nichtkompakt, hatten also Enden wie zum Beispiel das Katenoid:

Das muß auch so sein, denn tatsächlich folgt aus dem Maximumprinzip, dass es im R³ keine geschlossenen Minimalflächen geben kann.

Wenn schon keine geschlossenen Seifenblasen, dann möglichst kleine Willmore-Energie

Es gibt also keine geschlossenen Seifenblasen ohne Rand.

Man kann dann fragen, welche geschlossenen Flächen den Minimalflächen “am nächsten kommen”.

Da ja Minimalflächen (per Definition) diejenigen Flächen waren, deren mittlere Krümmung konstant H=0 war, sollten das dann Flächen sein, deren mittlere Krümmung möglichst wenig von 0 abweicht. Man will also das Integral

W =∫ H²dA

minimieren. (Diese Grösse oder Varianten davon werden oft als Willmore-Energie bezeichnet, meist subtrahiert man noch das Integral von K, was nach Gauss-Bonnet dasselbe ist wie 2π mal Euler-Charakteristik.)

Man sucht also nach geschlossenen Flächen, die die Willmore-Energie minimieren, weil das sozusagen die den Minimalflächen (die es kompakt und ohne Rand nicht gibt) am nähesten kommenden geschlossenen Flächen sind.

Krümmungen

Zur Erinnerung: für eine Fläche im R³ hat man in jedem Punkt zwei Hauptkrümmungen k₁ und k₂, deren halbe Summe H=(k₁+k₂)/2 ist die mittlere Krümmung, und ihr Produkt K=k₁k₂ ist die Gauß-Krümmung. (Letztere hängt nach Theorema Egregium nicht von der Einbettung der Fläche ab, und ihr Integral ist nach Gauß-Bonnet gleich 2π mal Euler-Charakteristik, im Fall der Sphäre also 4π.)

Für die runde Sphäre vom Radius r ist die mittlere Krümmung H konstant gleich 1/r und der Flächeninhalt 4πr², als Integral von H² bekommt man also 4π.

Ungleichungen für Sphären

Für jede andere (nicht runde, sondern irgendwie verkrumpelte) Sphäre wird das Integral von H² grösser als 4π. Der Beweis ist so kurz, dass ich ihn hier schnell vorführen kann.

1. Für alle positiven Zahlen x₁,x₂ hat man die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel

2. Das kann man auf die Hauptkrümmungen k₁,k₂ anwenden und mit H=(k₁+k₂)/2 und K=k₁k₂ bekommt man dann
H² ≥ K.
(Mit diesem Beweis erst mal nur für positive k₁,k₂, aber dann als Korollar auch wenn beide negativ sind. Und wenn genau eine der beiden Zahlen negativ ist, dann ist die Ungleichung trivialer Weise richtig.)

3. Andererseits ist nach Gauss-Bonnet (TvF 72) das Integral der Gauss-Krümmung gleich 2π mal Euler-Charakteristik, im Fall der Sphäre also 4π.

Aus 2. und 3. folgt, dass das Integral von H² mindestens 4π ist. QED

(Und Gleichheit hat man nur, falls in jedem Punkt k₁=k₂ ist, also für die runde Sphäre.)

Die runde Sphäre ist also die Sphäre mit der kleinstmöglichen Willmore-Energie, sozusagen die einer Minimalflächen am nähestenkommende Sphäre.

Mehr Henkel

Ein ähnlicher Beweis funktioniert auch für Flächen mit mehr Henkeln, statt Gauss-Bonnet muß man dann aber die Chern-Lashof-Ungleichung benutzen und bekommt ebenfalls, dass das Integral von H² mindestens 4π ist.

Die runde Sphäre ist also nicht nur unter den Sphären sondern unter allen Flächen diejenige mit der minimalen Willmore-Energie.

Für Flächen mit Henkeln ist diese Ungleichung aber noch nicht die bestmögliche, man kann sogar bessere Ungleichungen beweisen, dazu nächste Woche.

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