Wenn im Deutschen von Produktbündeln die Rede ist, denkt man eher an den Telekommunikationsmarkt. Mit der mathematischen Bedeutung hat das wie meist nichts zu tun, dort sind Produktbündel einfach diejenigen, die nicht verdreht sind (oder sich zumindest geradebiegen lassen) – z.B. der unverdrehte Zylinder rechts im Gegensatz zum verdrehten Möbiusband links:

Wir hatten in den letzten Wochen einige Geradenbündel angesehen, z.B. vor 2 Wochen das Normalenbündel einer Fläche, dessen klassifizierende Abbildung gerade die Gauß-Abbildung war.

Das im Zusammenhang mit Flächen interessanteste Bündel ist natürlich das Tangentialbündel: ein Ebenenbündel, wo man über jedem Punkt der Fläche die Tangentialebene hat:

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Das Tangentialbündel kam in dieser Reihe schon häufiger vor, u.a. im Zusammenhang mit Vektorfeldern: diese sind stetige Abbildungen von der Fläche in das Tangentialbündel (mit der zusätzlichen Bedingungen, dass der einem Punkt zugeordnete Vektor gerade in der Tangentialebene dieses Punktes liegen muß – Abbildungen, die letztere Bedingung erfüllen, nennt man “Schnitte” des Bündels).

Um Vektorfelder auf der Sphäre ging es z.B. beim Igelsatz (TvF 201): dieser besagte, dass ein Vektorfeld auf der Sphäre immer Nullstellen haben muss.

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Daraus folgt natürlich, dass das Tangentialbündel der Sphäre nicht trivial ist. In einem trivialen Vektorbündel (also einem, dass sich als Produkt B\times F aus Basis und Faser zerlegen läßt) könnte man nämlich immer Schnitte ohne Nullstellen finden, etwa die Abbildung s(b)=(b,f) für irgendein festes f\in F, f\not=0.

Anders war es auf dem Torus, wo es Vektorfelder ohne Nullstellen durchaus gab:
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Man kann leicht sehen, dass das Tangentialbündel des Torus trivial ist: offensichtlich ist ja das Tangentialbündel der Ebene trivial; und den Torus bekommt man, indem man gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks in der Ebene mittels Verschiebungen identifiziert (verklebt); dabei werden auch die jeweiligen Tangentialebenen miteinander identifiziert (und zwar kompatibel zur Produktstruktur).

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Das Tangentialbündel des Torus ist also einfach des Produkt des Torus mit dem R2. Insbesondere hat man sogar zwei linear unabhängige Vektorfelder auf dem Torus.

Man könnte dann denken, dass es so auch für die Flächen mit mehr Henkeln funktioniert, denn die bekam man ja (TvF 69) ebenfalls durch Verkleben des Seiten eines Polygons in der Ebene. Das Problem ist aber, dass hier die Verklebe-Abbildungen keine Verschiebungen sind (sondern Isometrien der hyperbolischen Metrik) und sie die Produktstruktur des Tangentialraums der Ebene nicht erhalten.

Tatsächlich kann es für Flächen mit mehreren Henkeln keine Trivialisierung des Tangentialbündels (und nicht einmal ein Vektorfeld ohne Nullstellen) geben: das folgt aus dem Satz von Poincaré (TvF 203), der besagte: Wenn man ein Vektorfeld auf einer Fläche mit g Henkeln hat, dann ist die Summe der Indizes der Nullstellen des Vektorfeldes gleich 2-2g. (Insbesondere muss es auf Flächen mit g\ge2 Henkeln immer Nullstellen geben, denn sonst wäre die Summe ja 0.)

Der Satz von Poincaré beantwortet also insbesondere die Frage, für welche Flächen das Tangentialbündel trivial ist: dies ist nur beim Torus der Fall.

Als nächstes fragt man sich dann natürlich, wie dieser bekannte Satz von Poincaré jetzt in die Bündel-Theorie (klassifizierende Abbildung, charakteristische Klassen) hineinpaßt, also wie man ihn mittels charakteristischer Klassen erklären kann.

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