Boy-Flächen nennt man Immersionen der projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum, sie sind ein beliebtes Thema für Videos, Animationen, Modelle und Skulpturen (z.B. vor der Universität Cagliari oder dem MFO).
Letzte Woche hatten wir uns Steiner-Flächen angesehen, das waren Abbildungen (mit gewissen Singularitäten) der projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum, die gelegentlich auch Römerflächen genannt werden, weil Jakob Steiner sich 1838 in Rom mit ihnen beschäftigte. Die Steiner-Flächen hatten Singularitäten, waren also keine Immersionen. (Eine Immersion einer kompakten Fläche in den R3 war eine Abbildung, die zwar Selbstschnitte haben kann, aber lokal wie eine Einbettung aussieht, wie vor 2 Wochen diskutiert.)
David Hilbert nahm seinerzeit an, dass es keine Immersionen der projektiven Ebene in den R3 gäbe und stellte die Aufgabe, dies zu beweisen, seinem Doktoranden Werner Boy. Der fand in seiner Dissertation 1901 dann aber doch eine solche Immersion. Er gab allerdings keine explizite Parametrisierung an, sondern beschrieb die Fläche, in dem er die Schnitte mit verschiedenen Ebenen z=const. im R3 zeichnete:
Die Frage nach einer expliziten Parametrisierung der Boy’schen Fläche blieb noch lange unbeantwortet.
Eine Parametrisierung fand erstmals Benard Morin 1978 in Zusammenhang mit der “Eversion der Sphäre”, auch bekannt als “Smales Paradox” – es geht darum, eine stetige Verformung (“Homotopie”, der Parameter t laufe von 0 bis 1) zwischen der in den R3 eingebetteten Sphäre und derselben Sphäre mit umgekehrter Orientierung zu finden, wobei die Abbildungen während der Homotopie (für jedes t) alle Immersionen sein sollen.
Morin gab eine explizite Beschreibung dieser Homotopie (deren Existenz ursprünglich mittels abstrakter topologischer Prinzipien von Smale gezeigt worden war) und eine der Abbildungen seiner Homotopie (zu t=1/2) war eine Boy-Fläche, d.h. eine Immersion der Sphäre S2, die jeweils antipodale Punkte der S2 auf denselben Punkt im R3 abbildete, mithin auch eine Immersion der projektiven Ebene lieferte.
Die Level-Mengen von Morins Fläche zeigt diese Animation aus der Wikipedia (Auf Bild Klicken zum Starten):
Apery gab 1986 eine Parametrisierung der Boy-Fläche durch Polynome 4.Grades (in sphärischen Koordinaten, d.h. als über
Am bekanntesten ist inzwischen aber wohl die Bryant-Kusner-Parametrisierung: diese mimimiert die Willmore-Energie (TvF 238) unter allen Immersionen der projektiven Ebene und steht heute als Modell vor dem Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach.
Einen Vergleich der Levelmengen von Boy’s ursprünglicher Zeichnung mit der Parametrisierung von Bryant-Kusner zeigt diese Zeichnung aus einem Artikel von Karcher-Pinkall.
Quellen:
* Werner Boy (1903), “Über die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Flächen”, Mathematische Annalen, Volume 57, Issue 2, pp 151-184
* Morin, Bernard (1978), “Equations du retournement de la sphère”, C. R. Acad. Sci. Paris 287 (13): A879–A882
* Apéry, F. “La surface de Boy.” Adv. Math. 61, 185-266, 1986.
* Bryant, Robert (1988), “Surfaces in conformal geometry”, The mathematical heritage of Hermann Weyl (May 12–16, 1987, Duke University, Durham, North Carolina), Proc. Sympos. Pure Math., 48, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 227–240
* Kusner, R. (1987). Conformal geometry and complete minimal surfaces Bulletin of the American Mathematical Society, 17 (2), 291-296 DOI: 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9
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