1,2,…,n-1 funktionieren, gehts dann auch für n? Aus der Schule kennt man die Geschichte mit den Eulerzahlen: die Formel 2^2n-1+1 liefert die Primzahlen 3,5,17,257 und 65537 und Fermat vermutete, dass sie immer Primzahlen liefere, erst Euler fand die Teilbarkeit von 2³²+1=424967297 durch 641. Gerade die Zahlentheorie kennt noch viel beeindruckendere Beispiele. Zum Beispiel sind für n=1,…,533359 jeweils n⁵+5 und (n+1)⁵+5 teilerfremd, aber für n=533360 sind beide Ausdrücke durch 1968751 teilbar.

Immersionen von S¹,…,S^n-1 in den Rⁿ

Die letzten Wochen hier ging es um Immersionen von Flächen in den R³: die Immersionen der Sphäre, welche alle regulär homotop waren (insbesondere konnte man die Sphäre umstülpen), die Immersionen des Torus, von denen es bis auf reguläre Homotopie 4 verschiedene gab, analog der Fläche mit g Henkeln, die 4^g verschiedene Immersionen hat.

Der “Trick” hinter der Bestimmung der möglichen Immersionen war in jedem Fall, statt des nichtlinearen Problems (der Bestimmung der Immersionen) das lineare Problem der Bestimmung der injektiven linearen Abbildungen (d.h. der potentiellen Differentiale von Immersionen) zu betrachten: dieses hat – wie man mittels algebraischer Topologie schnell beweisen kann – für
die Fläche mit g Henkeln bis auf Homotopie genau 4^g Lösungen.

Der nichttriviale Punkt hierbei ist natürlich der Beweis, dass diese beiden Probleme – das nichtlineare und das lineare – tatsächlich äquivalent sind. Diese Äquivalenz ist für Immersionen von Sphären in höherdimensionale Räume – zunächst von S² in R³, dann auch von S^k in Rⁿ für n>k – durch Smale bewiesen worden. (Noch allgemeiner dann für Immersionen von k-dimensionalen Mannigfaltigkeiten in Mannigfaltigkeiten der Dimension n>k durch Smales Schüler Morris Hirsch.)

Allgemein spricht man (heute, d.h. seit Gromovs Buch) in einem solchen Fall – wenn ein nichtlineares Problem sich auf seine Linearisierung zurückführen läßt – von einem h-Prinzip.

Für Immersionen von Sphären S¹,…,S^n-1 in den Rⁿ gilt also ein h-Prinzip.

Immersionen von Sⁿ in den Rⁿ

Was ist für Immersionen der Sⁿ in den Rⁿ?
Das ist viel komplizierter, schon für n=2. (Und für n>2 weiß man in diesem Fall wohl gar nichts.)

Das linearisierte Problem läuft auf die Berechnung von π_nSO(n) hinaus, z.B. für n=2 hätte man wegen π₂SO(2)=0 dann also eine eindeutige Lösung.

In Wirklichkeit gibt es aber keine Immersionen der S² in den R². Der vielleicht einfachste Beweis geht so: wegen dim(S²)=dim(R²) wäre jede Immersion auch eine Submersion. Eine Submersion einer kompakten Mannigfaltigkeit ist aber nach dem (einfach und elementar zu beweisenden) Satz von Ehresmann immer ein Faserbündel, in diesem Fall wegen dim(S²)=dim(R²) also eine Überlagerung und wegen π₁S² dann sogar ein Diffeomorphismus auf sein Bild. Aber natürlich gibt es keine Untermannigfaltigkeit des R², die diffeomorph zur S² ist. (Letzteres kann man auf viele Arten beweisen, ein einfaches Argument: die Untermannigfaltigkeit müßte abgeschlossen und – wegen der Dimensionsgleichheit – auch offen sein, damit aber – weil R² zusammenhängend ist – gleich dem ganzen R².)

Das h-Prinzip für Immersionen im Rⁿ gilt also nur für Untermannigfaltigkeiten der Dimension 1,…,n-1, nicht für Dimension n.

Der Grund, warum der Beweis von Hirsch nicht funktioniert, ist der Induktionsschritt (beim Induktionsbeweis über die Simplizes einer Triangulierung). Für den Induktionsschritt muß man wissen, wann die Immersion einer k-1-dimensionalen Sphäre zu einer Immersion eines k-dimensionalen Balles fortgesetzt werden kann. Für k≤n-1 geht das gerade dann, wenn die entsprechende Abbildung in die Stiefel-Mannigfaltigkeit nullhomotop ist (und das beweist dann per Induktion das h-Prinzip). Für k=n ist es aber schwieriger.

Zum Beispiel zeigt das folgende Bild eine Immersion der S¹ in den R², die regulär homotop zur Standard-Einbettung ist, aber selbst nicht zu einer Immersion der D² fortgesetzt werden kann.

Andererseits gibt es für jedes n Immersionen f_n : S¹ –> R², die sich auf genau n verschiedene Weisen zu Immersionen der D² fortsetzen lassen. (“Verschieden” heißt natürlich wieder: nicht regulär homotop.) Das Bild ist aus einem Artikel von Poenaru.

Eine kürzliche Dissertation in Darmstadt diskutiert dann allgemein, welche Immersionen der S¹ in eine Fläche sich zu einer Immersion der D² fortsetzen lassen, schon die Formulierung der Ergebnisse sieht sehr kompliziert aus. Also: für k=n hat man nicht nur kein h-Prinzip, es ist auch alles wahnsinnig kompliziert.