Universelle Geradenbündel oder: Wie bekommt man höherdimensionale Möbiusbänder?
Das Möbiusband als getwistetes Geradenbündel über dem Kreis
kann man sich – wie letzte Woche gesehen – denken als Vereinigung der Geraden durch den Nullpunkt der Ebene, wobei der Nullpunkt der Ebene “aufgelöst” (und durch einen Kreis ersetzt) wurde, weil er ja in jeder Gerade vorkommt.
Wie sieht die analoge Vereinigung der Geraden durch den Nullpunkt eines höherdimensionalen aus?
Die Basis des Bündels oben war ein Kreis, aber eigentlich war das eher ein Zufall: die Basis ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt und diese entprechen eindeutig jeweils einem Paar gegenüberliegender Punkte auf dem Einheitskreis. (Jede Gerade schneidet den Einheitskreis in 2 gegenüberliegenden Punkten und die Schnittpunkte legen die Gerade natürlich eindeutig fest.) Die Basis des Bündels – die Menge der Geraden durch den Nullpunkt im – ist also eigentlich der Raum, den man aus dem Kreis durch Identifizieren gegenüberliegender Punkte bekommt. Zufälligerweise ist dieser Quotientenraum wieder ein Kreis, wie das Bild unten veranschaulicht. (Endpunkte eines Halbkreises werden identifiziert, wodurch man eben wieder einen Kreis bekommt.)
Es liegt dann auf der Hand, wie man das in höheren Dimensionen verallgemeinert. Die Menge der Geraden im entspricht den Paaren antipodaler Punkte auf der Einheitssphäre:
In diesem Fall ist der Quotientenraum der Sphäre nach Identifizieren antipodaler Punkte nicht wieder homörph zur Sphäre, sondern man erhält die projektive Ebene (TvF 155).
Und man kann dann wieder in jedem Punkt die entsprechende Gerade anheften und erhält ein Geradenbündel über der projektiven Ebene.
Das selbe kann man dann auch für höherdimensionale machen, als Menge der Geraden im bekommt man den n-1-dimensionalen projektiven Raum (den Quotienten der n-1-Sphäre nach Identifikation antipodaler Punkte) und über diesem hat man wieder das Geradenbündel. Die aufsteigende Vereinigung über alle n liefert einem ein Geradenbündel über dem unendlich-dimensionalen projektiven Raum (d.h. der Menge der Gerade im ), das sogenannte tautologische Geradenbündel, welches seinen Namen der Tatsache verdankt, dass man jedes andere Geradenbündel in diesem wiederfinden kann, weshalb man es zur ‘universellen’ Konstruktion von Invarianten von Geradenbündeln (Stichwort Stiefel-Whitney-Klassen) nutzen kann. Dazu nächste Woche.
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