Topologie von Flächen CCLVIII

Die Vermessung der Welt habe ich leider immer noch nicht gesehen, den Film gibt es weder bei iTunes (immerhin kann man dort für 11,99 Euro die Filmmusik kaufen) noch irgendwo sonst im Netz. Aber zumindest begegnet einem Gauß’ 19th-century-Mathematik auch durchaus bei der Beschäftigung mit heutigerer Topologie immer wieder mal. Zum Beispiel bei der letzte Woche besprochenen klassifizierenden Abbildung von Geradenbündeln. Die nämlich kommt – jedenfalls für im eingebettete Flächen und im Spezialfall des Normalenbündels – im Prinzip schon in Gaußens Disquisitiones generales circa superficies curvas vor.

Bei Gauß geht es um Flächen im (3-dimensionalen) euklidischen Raum. Für die hat man in jedem Punkt eine Tangentialebene sowie einen zu dieser senkrechten Vektor, den Normalenvektor , rot im Bild oben.
(Per Definition betrachtet Gauß nur sogenannte “reguläre Flächen”, für die dieser Normalenvektor niemals Null ist, und für die benutzte er dann die Normalenvektoren unter anderem, um die Gaußsche Krümmung zu bestimmen.)

Jedenfalls ist die Gesamtheit der Normalenvektoren ein Vektorfeld, das Normalenvektorfeld, das dann aussieht wie im Bild unten.

Die sogenannte Gauß-Abbildung ist die Abbildung, die jedem Punkt der Fläche den auf 1 normierten Normalenvektor zuordnet, also . Man vergisst sozusagen den Betrag des Normalenvektors und interessiert sich nur für seine Richtung.

Die Bildmenge der Gauß-Abbildung sind also Einheitsvektoren im , die Gauß-Abbildung definiert mithin eine Abbildung von der Fläche in die Einheitssphäre . Das Video unten (nur 12 Sekunden) zeigt ein Beispiel.

Was hat das jetzt mit der klassifizierenden Abbildung des Geradenbündels (in diesem Falle des Normalenbündels) von letzter Woche zu tun?

Diese war ja eigentlich eine Abbildung in die projektive Ebene , also in die Menge aller Geraden im , während die Bildmenge der Gauß-Abbildung die Sphäre , also die Menge der Einheitsvektoren im ist. Aber man hat natürlich eine offensichtliche Abbildung , die jedem Einheitsvektor die durch ihn bestimmte Gerade zuordnet. Dabei entsprechen zwei Vektoren N und -N derselben Gerade, weshalb eine 2-fache Überlagerung ist. (Hier in TvF 155 schon mal diskutiert.)

Durch Verknüpfung mit dieser Überlagerung kann man die Gauß-Abbildung jedenfalls als Abbildung von unserer Fläche in den auffassen und die so erhaltene Abbildung ist dann gerade die klassifizierende Abbildung des Normalenbündels, welche dann wiederum (siehe letzte Woche) zur Definition der charakteristischen Klassen des Geradenbündels benutzt wird.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257