Topologie von Flächen CCLX

Wenn im Deutschen von Produktbündeln die Rede ist, denkt man eher an den Telekommunikationsmarkt. Mit der mathematischen Bedeutung hat das wie meist nichts zu tun, dort sind Produktbündel einfach diejenigen, die nicht verdreht sind (oder sich zumindest geradebiegen lassen) – z.B. der unverdrehte Zylinder rechts im Gegensatz zum verdrehten Möbiusband links:

Wir hatten in den letzten Wochen einige Geradenbündel angesehen, z.B. vor 2 Wochen das Normalenbündel einer Fläche, dessen klassifizierende Abbildung gerade die Gauß-Abbildung war.

Das im Zusammenhang mit Flächen interessanteste Bündel ist natürlich das Tangentialbündel: ein Ebenenbündel, wo man über jedem Punkt der Fläche die Tangentialebene hat:

Das Tangentialbündel kam in dieser Reihe schon häufiger vor, u.a. im Zusammenhang mit Vektorfeldern: diese sind stetige Abbildungen von der Fläche in das Tangentialbündel (mit der zusätzlichen Bedingungen, dass der einem Punkt zugeordnete Vektor gerade in der Tangentialebene dieses Punktes liegen muß – Abbildungen, die letztere Bedingung erfüllen, nennt man “Schnitte” des Bündels).

Um Vektorfelder auf der Sphäre ging es z.B. beim Igelsatz (TvF 201): dieser besagte, dass ein Vektorfeld auf der Sphäre immer Nullstellen haben muss.

Daraus folgt natürlich, dass das Tangentialbündel der Sphäre nicht trivial ist. In einem trivialen Vektorbündel (also einem, dass sich als Produkt aus Basis und Faser zerlegen läßt) könnte man nämlich immer Schnitte ohne Nullstellen finden, etwa die Abbildung für irgendein festes .

Anders war es auf dem Torus, wo es Vektorfelder ohne Nullstellen durchaus gab:

Man kann leicht sehen, dass das Tangentialbündel des Torus trivial ist: offensichtlich ist ja das Tangentialbündel der Ebene trivial; und den Torus bekommt man, indem man gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks in der Ebene mittels Verschiebungen identifiziert (verklebt); dabei werden auch die jeweiligen Tangentialebenen miteinander identifiziert (und zwar kompatibel zur Produktstruktur).

Das Tangentialbündel des Torus ist also einfach des Produkt des Torus mit dem R². Insbesondere hat man sogar zwei linear unabhängige Vektorfelder auf dem Torus.

Man könnte dann denken, dass es so auch für die Flächen mit mehr Henkeln funktioniert, denn die bekam man ja (TvF 69) ebenfalls durch Verkleben des Seiten eines Polygons in der Ebene. Das Problem ist aber, dass hier die Verklebe-Abbildungen keine Verschiebungen sind (sondern Isometrien der hyperbolischen Metrik) und sie die Produktstruktur des Tangentialraums der Ebene nicht erhalten.

Tatsächlich kann es für Flächen mit mehreren Henkeln keine Trivialisierung des Tangentialbündels (und nicht einmal ein Vektorfeld ohne Nullstellen) geben: das folgt aus dem Satz von Poincaré (TvF 203), der besagte: Wenn man ein Vektorfeld auf einer Fläche mit g Henkeln hat, dann ist die Summe der Indizes der Nullstellen des Vektorfeldes gleich 2-2g. (Insbesondere muss es auf Flächen mit Henkeln immer Nullstellen geben, denn sonst wäre die Summe ja 0.)

Der Satz von Poincaré beantwortet also insbesondere die Frage, für welche Flächen das Tangentialbündel trivial ist: dies ist nur beim Torus der Fall.

Als nächstes fragt man sich dann natürlich, wie dieser bekannte Satz von Poincaré jetzt in die Bündel-Theorie (klassifizierende Abbildung, charakteristische Klassen) hineinpaßt, also wie man ihn mittels charakteristischer Klassen erklären kann.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259