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Topologie von Flächen CCLXI

Von / 1. März 2013 / 9 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Die beiden invarianten Polynome “Determinante” und “Pfaffsche Determinante” entsprechen den charakteristischen Klassen “1. Pontrjaginklasse” und “Eulerklasse”. (Genauer gesagt ist P_1=\frac{1}{4\pi^2}det und E=\frac{1}{2\pi}Pf.) Sie geben Kohomologieklassen in der 4-ten bzw. 2-ten Kohomologie des Basisraumes. Für das Tangentialbündel von Flächen F ist also (wegen H^4(F)=0) die Eulerklasse E\in H^2(F) die einzige charakteristische Klasse. Die Euler-Charakteristik der Fläche bekommt man durch Anwendung der Kohomologieklasse E auf den durch eine Triangulierung der Fläche gegebenen Zykel.

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Kommentare (9)

  1. #1 Niels
    5. März 2013

    @Thilo
    Sorry, das passt hier jetzt nicht wirklich, aber ich konnte leider keine bessere Stelle finden:

    Drüben bei Astrodicticum Simplex diskutieren wir über die globale Geometrie des Universums. Die kann ja euklidisch, sphärisch oder hyperbolisch sein.
    Uns interessiert der euklidischen Fall, speziell die Modelle für ein räumlich endliches Universum. Anscheinend gibt genau 10 verschiedene Arten/Klassen geschlossener endlicher dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten mit euklidischer Geometrie.
    Gibt es eine Möglichkeit, sich die irgendwie zu veranschaulichen?
    Wir verstehen alle leider viel zu wenig von Topologie, um das irgendwie selbst aus der mathematischen Beschreibung zu extrahieren.
    Für den Fall des 3-Torus gibt es die Veranschaulichung über den Quader oder Würfel, dessen sechs gegenüberliegende Flächen paarweise “zusammengeklebt” sind.
    Kann man sich eine der anderen 9 Möglichkeiten auch noch irgendwie vorstellen?

    Wäre super, wenn du dazu etwas schreiben würdest. Entschuldige bitte für die Thread-Kaperung.

  2. #2 Thilo
    5. März 2013

    Die 3-dimensionalen euklidischen Mannigfaltigkeiten bekommt man alle als Quotientenraume des R^3 bzgl. einer diskreten Gruppe G von Isometrien.

    Der einfachste Fall, der 3-Torus, entspricht der von 3 (linear unabhangigen) Verschiebungen erzeugten Gruppe G. Den Torus bekommt man dann aus einem Parallelepiped, indem man die Seitenflaechen mittels der Verschiebungen identifiziert. (Das ist dasselbe als wenn man den Quotienten des R^3 unter der Gruppenwirkung nimmt, also zwei Punkte des R^3 immer dann miteinander identifiziert, wenn sie durch ein Gruppenelement G, also eine Hintereinanderausfuehrung der Verschiebungen, ineinander abgebildet werden.)

    Allgemein braucht man also eine Gruppe von Isometrien des R^3 (Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen), und schaut sich dann den Quotientenraum an. Wie beim Torus kann man wieder versuchen, einen Fundamentalbereich zu finden, dessen Seiten nach passender Identifizierung dann den Quotientenraum geben.

    Damit der Quotientenraum eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist, muss die Gruppe G auf jeden Fall 3 linear unabhangige Translationen enthalten. Es koennen aber noch weitere “Schraubungen” (Kombinationen aus Verschiebung und Drehung) hinzukommen. Der Fundamentalbereich ist dann nur ein Teil des Parallelepipeds.

    Eine Auflistung der moeglichen diskreten Gruppen und der entsprechenden 3-dimensionalen euklidischen Mannigfaltigkeiten findet man in Hantzsche-Wandt: “Dreidimensionale euklidische Raumformen”, online https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01448045?LI=true#page-1 Auf Seite 599 sind auch Bilder

    Modernere Darstellungen sind Kapitel 3.5 in Wolf: “Spaces of constant curvature” oder S.443-448 in Scott The geometries of 3-manifolds”. Aber wenn man mit topologischen Begriffen nicht so vertraut ist, kann man wahrscheinlich mit der Original-Arbeit von Hantzsche-Wandt eher etwas anfangen als mit Scott.

    Also z.B. vier der sechs orientierbaren (ausser dem Torus und der sogenannten Hantzsche-Wandt-Mf.) euklidischen 3-Mannigfaltigkeiten bekommt man (mit n=2,3,4,6) laut dem Artikel von Hantzsche-Wandt wie folgt:

    Der Fundamentalbereich ist ein Prisma, dessen Grundflaeche fuer n=2 ein Parallelogramm, fuer n=3 ein regelmaessiges Sechseck, fuer n=4 ein Quadrat, fuer n=6 ein regelmaessiges Sechseck ist. Dann werden gegenueberliegende Seiten des Prismas durch Verschiebungen identifiziert, sowie Grund- und Dachflaeche durch eine Drehung um 2pi/n. (Seite 600 bei Hantzsche-Wandt.)

    Die anderen Faelle sind etwas komplizierter, aber vielleicht helfen diese Beispiele erstmal weiter.

  3. #3 Thilo
    6. März 2013

    Hantzsche-Wendt muss es heißen, nicht Hantzsche-Wandt.

  4. #4 Niels
    6. März 2013

    Toll.
    Die Arbeit von Hantzsche und Wendt konnte ich tatsächlich recht gut verstehen. Deine Zusammenfassung war ebenfalls sehr hilfreich. Vielen Dank!

  5. #5 Topologie von Flächen CCLXII – Mathlog
    9. März 2013

    […] gerade um charakteristische Klassen geht – Zusammenhänge und Krümmungen braucht man, um den letzte Woche beschriebene Konstruktion von charakteristischen Klassen mittels invarianter Polynome explizit zu […]

  6. #6 Topologie von Flächen CCLXIII – Mathlog
    16. März 2013

    […] Vor 2 Wochen hatten wir gesagt, daß die Euler-Klasse (die dem Polynom entsprechende Klasse) die einzige charakteristische Klassen von Flächen ist. (Jedenfalls in der Kohomologie mit reellen Koeffizienten.) […]

  7. #7 Topologie von Flächen CCLXV – Mathlog
    30. März 2013

    […] Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil […]

  8. #8 Topologie von Flächen CCLXVI – Mathlog
    5. April 2013

    […] Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil 264, Teil […]

  9. #9 Topologie von Flächen CCLXVII – Mathlog
    14. August 2016

    […] TvF 263 hatten wir die Euler-Klasse als eine Kohomologieklasse in der Kohomologie der […]