StartseiteMathlog

Topologie von Flächen CCLXII

Von / 8. März 2013 / 6 Kommentare
Mehr

Aus der Schule kennt man natürlich Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum.

Auch auf gekrümmmten Flächen kann man Vektoren parallelverschieben, anschaulich sieht das dann so aus:
500px-Parallel_transport_sphere2_svg

Definiert wird die Parallelverschiebung (entlang einer Kurve) über die folgende Bedingung: ein Vektorfeld ist parallel entlang einer Kurve, wenn seine Ableitung (nach den Tangentialvektoren der Kurve) 0 ist.

Für diese Definition muß man natürlich erst einmal definiert haben, was die Ableitung auf einer gekrümmten Fläche eigentlich sein soll. In der Ebene \mathbb R^2 oder dem Raum \mathbb R^3 hat man natürlich die bekannte Definition der Ableitung, doch die Definition der Ableitung auf einer gekrümmten Fläche ist erstmal nicht so offensichtlich, wenn auch letztlich für Flächen im \mathbb R^3 dann doch recht naheliegend:
Man habe eine Fläche im \mathbb R^3 und auf dieser ein Vektorfeld, welches man (nach einem anderen Vektorfeld, z.B. den Tangentialvektoren einer Kurve) ableiten will; dann leitet man es zunächst wie bekannt im \mathbb R^3 ab, bekommt als Ergebnis ein Vektorfeld im \mathbb R^3, welches aber nicht unbedingt tangential an die Fläche sein muß. Man kann es aber natürlich mittels orthogonaler Projektion auf den Tangentialraum der Fläche projizieren und erhält so ein Vektorfeld auf der Fläche. Und dieses ist dann – per Definition – die Ableitung des Vektorfeldes auf der Fläche.

Im Ergebnis hat man also ein Verfahren, wie man ein Vektorfeld auf der Fläche ableiten kann und als Ableitung ein neues neues Vektorfeld bekommt. Dieses Ableitungsverfahren heisst Levi-Civita-Zusammenhang und wird üblicherweise abstrakt definiert durch eine Liste von Eigenschaften, welche die Ableitung erfüllen soll. Durch die geforderten Eigenschaften wird der Levi-Civita-Zusammenhang eindeutig festgelegt und für Flächen im \mathbb R^3 stimmt er mit der im vorigen Absatz beschriebenen Ableitung überein. (Auch allgemein für Untermannigfaltigkeiten im euklidischen \mathbb R^n.)

Jedenfalls kann man mit der so definierten Ableitung (dem Levi-Civita-Zusammenhang) dann also eine Parallelverschiebung definieren durch die Bedingung, dass die Ableitung paralleler Vektorfelder 0 ist. (Die Bedingung liefert eine Gewöhnliche Differentialgleichung, welche sich zu einem gegebenen Anfangswert eindeutig lösen läßt.)

i-c56371ac38df60fb5836a1b3b464cabe-Parallel_transport.png

Wenn man entlang einer geschlossenen Kurve parallelverschiebt, dann kommt man (anders als bei Parallelverschiebung in der Ebene) nicht unbedingt wieder zum selben Vektor.
Wenn man etwa im Bild oben einen Vektor von A startend erst nach N, dann nach B, dann wieder nach A verschiebt, dann erhält man einen um 900 gedrehten Vektor.

Der Grund für die Drehung des Winkels (die als Holonomie bezeichnet wird) ist die Krümmung der Fläche. (Mit Krümmung meine ich hier die Gauß-Krümmung von Flächen, wie wir sie in TvF 48 definiert hatten.)
Tatsächlich kann man die Holonomie hol der Kurve mittels der Krümmung K berechnen:

hol(\partial D)=\int_D K,

wobei \partial D die das Gebiet D berandende Kurve ist.
Im Bild oben ist D eine Achtelsphäre mit Flächeninhalt \frac{1}{8}4\pi=\frac{\pi}{2}, die Krümmung ist konstant 1, das Integral auf der rechten Seite der Gleichung ist demzufolge \frac{\pi}{2} und der Winkel ändert sich also um \frac{\pi}{2}=90^0.

Warum wir das jetzt hier eingeschoben haben, wo es doch in der TvF-Reihe eigentlich gerade um charakteristische Klassen geht – Zusammenhänge und Krümmungen braucht man, um den letzte Woche beschriebene Konstruktion von charakteristischen Klassen mittels invarianter Polynome explizit zu machen. Insbesondere werden wir Levi-Civita-Zusammenhang und Gauß-Krümmung benötigen um zu zeigen, daß tatsächlich wie letzte Woche behauptet (und von der Namensgebung nahegelegt), die mittels der Pfaffschen Determinante konstruierte Euler-Klasse gerade die Euler-Charakteristik liefert.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261

Stichworte: , , , ,
Mehr

Kommentare (6)

  1. #1 Niels
    9. März 2013

    Hallo.
    Bild 2 und 3 werden bei mir nicht angezeigt.

  2. #2 rolak
    9. März 2013

    Bild 2 und 3

    Aktuell grassiert ein kleiner WP-bug, Niels, (von mir) geschätzt auf Kommunikations- bzw Timingprobleme zwischen einzelnen Teilen des Gesamtsystems ‘Plattform’. Betrifft mehrere blogs, und die zeitliche Entwicklung bei Florian deutet eher auf erratisches Funktionieren hin.

  3. #3 Thilo
    9. März 2013

    Das Problem scheint rechnerabhangig zu sein: Auf dem asus eee werden beide Bilder angezeigt, auf dem Dell das letzte nicht, auf dem iPad beide nicht. Ich hoffe mal, das Problem löst sich von selbst, wenn die Arbeiten an der Technik abgeschlossen sind.

  4. #4 Topologie von Flächen CCLXVII – Mathlog
    13. April 2013

    […] 0 ist. Was die Krümmung (im Fall eines Kreisbündels) anschaulich bedeutet, hatten wir in TvF 262 beschrieben: das Integral der Krümmung über eine Kreisscheibe ist die Holonomie der […]

  5. #5 Topologie von Flächen CCLXIX – Mathlog
    27. April 2013

    […] Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil 264, Teil 265, Teil 266, Teil 267, Teil […]

  6. #6 Topologie von Flächen CCLXX – Mathlog
    3. Mai 2013

    […] Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil 264, Teil 265, Teil 266, Teil 267, Teil 268, Teil […]