Die Konstruktion einer hyperbolischen Metrik auf einem solchen Faserbündel mit Faser T funktioniert dann wie folgt: sei die Monodromie des Bündels. In der Farey-Triangulierung betrachtet man die die beiden Eigenwerte von A verbindende Geodäte (rot eingezeichnet im Bild der Farey-Triangulation oben), diese schneidet unendlich viele Dreiecke, man kann aber zeigen, dass sie modulo der Wirkung von A nur endlich viele Dreiecke schneidet. Die jeweils benachbarten Dreiecke bestimmen wie oben beschrieben einen idealen Tetraeder, man bekommt eine Folge von idealen Tetraedern, die modulo der Monodromie A periodisch ist, also eine ideale Triangulierung des Faserbündels. (Die Anzahl der Tetraeder entspricht der Anzahl der Faktoren L und R, wenn man die Matrix A in diesen beiden Erzeugenden ausdrückt.) Um die hyperbolische Metrik zu bekommen, muss man dann die durch die Triangulierung gegebenen Gleichungssysteme lösen. (Eine Lösung existiert, wenn A zwei unterschiedliche Eigenwerte hat, Beweis hier.)

Das Achterknoten-Knotenkomplement zum Beispiel ist ein Faserbündel mit Faser T und Monodromie , man erhält also eine Zerlegung in zwei ideale Tetraeder. (Die, wenig überraschend, mit der von Thurston angegebenen übereinstimmt.)

Cluster-Algebra des Faserbündels

Wie gesagt beschreiben Inoue und Hikami Ansätze zur Beschreibung hyperbolischer Metriken mittels Cluster-Algebren für verschiedene Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten, der einfachste Fall sind wohl Faserbündel mit Faser T.

Für diesen Fall betrachten sie die Cluster-Algebra mit Variablen und Austauschmatrix . Für diese hat man dann die im ersten Abschnitt oben angegebenen Mutationen und – für ein Faserbündel mit Faser T, dessen Monodromie A in ein Produkt von L’s und R’s zerlegt ist – betrachtet man dann für jedes vorkommende L die Abbildung (wobei s₂₃ die Permutation der 2. und 3. Variablen bezeichnet) und für jedes vorkommende R die Abbildung . Einsetzen in die Definition gibt für und für .

Der von Hikami und Inoue bewiesene Satz ist dann, dass man die Parameter z₁,…,z_n der idealen Tetraeder in der im vorigen Absatz beschriebenen idealen Triangulierung des Faserbündels berechnen kann aus den Lösungen einer Periodizitätsgleichung in der Cluster-Algebra, nämlich dass man – bei einem Faserbündel mit Monodromie – durch Anwendung der den L’s und R’s entsprechenden Operationen neue Cluster bekommt und dann fordert, dass nach dem letzten (n-ten) Schritt man wieder das Ausgangs-Cluster erhält. Das gibt ein Gleichungssystem, dessen Lösungen die Berechnung des Parameters z₁ des ersten Tetraeders nach der Formel (wenn der entsprechende Faktor in A ein R ist) bzw. nach der Formel (falls der entsprechende Faktor in A ein L war) erlauben. Analog bekommt man die Parameter des 2.,3.,4.,… Tetraeders, wenn man in die Formeln statt der Variablen aus dem 1.Cluster die entsprechenden Variablen aus dem 2.,3.,4.,… Cluster einsetzt.

Am anschaulichsten ist es wohl, sich das einmal an einem einfachen Beispiel anzuschauen, dem Achterknoten-Komplement. Hier war die Monodromie A=LR, die zugehörige Abbildung ist
,
man muss also das Gleichungssystem

lösen. Die Lösung ist
.
Den Parameter des ersten Tetraeders berechnet man dann als .
Der zweite Cluster ergibt sich als , der Parameter des zweiten Tetraeders ist .
(Man beachte, dass die komplexen Parameter und isometrische Tetraeder beschreiben, die durch eine Spiegelung ineinander überführt werden können. Wir haben also, wie es natürlich auch sein muss, die selbe Lösung bekommen wie unmittelbar aus den Gleichungen zur Triangulierung oben im 2.Abschnitt.)
Die Rechnung war jetzt eher komplizierter als wenn man die Gleichungen zwischen den Parametern z_i direkt gelöst hätte, der Nutzen dieser neuen Beschreibung ist also wohl weniger eine einfachere Berechnung der hyperbolischen Metrik und ihrer Invarianten als eben das Entdecken einer auch anderswo vorkommenden mathematischen Struktur, der Cluster-Algebra, in (Umformulierungen der) Gleichungen, die die Parameter einer idealen Triangulierung einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit beschreiben.