Die Konstruktion einer hyperbolischen Metrik auf einem solchen Faserbündel mit Faser T funktioniert dann wie folgt: sei A\in SL(2,Z) die Monodromie des Bündels. In der Farey-Triangulierung betrachtet man die die beiden Eigenwerte von A verbindende Geodäte (rot eingezeichnet im Bild der Farey-Triangulation oben), diese schneidet unendlich viele Dreiecke, man kann aber zeigen, dass sie modulo der Wirkung von A nur endlich viele Dreiecke schneidet. Die jeweils benachbarten Dreiecke bestimmen wie oben beschrieben einen idealen Tetraeder, man bekommt eine Folge von idealen Tetraedern, die modulo der Monodromie A periodisch ist, also eine ideale Triangulierung des Faserbündels. (Die Anzahl der Tetraeder entspricht der Anzahl der Faktoren L und R, wenn man die Matrix A in diesen beiden Erzeugenden ausdrückt.) Um die hyperbolische Metrik zu bekommen, muss man dann die durch die Triangulierung gegebenen Gleichungssysteme lösen. (Eine Lösung existiert, wenn A zwei unterschiedliche Eigenwerte hat, Beweis hier.)

Das Achterknoten-Knotenkomplement zum Beispiel ist ein Faserbündel mit Faser T und Monodromie A=(\begin{array}{cc}1&1\\  2&1\end{array})=LR , man erhält also eine Zerlegung in zwei ideale Tetraeder. (Die, wenig überraschend, mit der von Thurston angegebenen übereinstimmt.)

Cluster-Algebra des Faserbündels

Wie gesagt beschreiben Inoue und Hikami Ansätze zur Beschreibung hyperbolischer Metriken mittels Cluster-Algebren für verschiedene Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten, der einfachste Fall sind wohl Faserbündel mit Faser T.

Für diesen Fall betrachten sie die Cluster-Algebra mit Variablen x_1,x_2,x_3 und Austauschmatrix B=(\begin{array}{ccc}0&-2&2\\  2&0&-2\\  -2&2&0\end{array}). Für diese hat man dann die im ersten Abschnitt oben angegebenen Mutationen \mu_1,\mu_2,\mu_3 und – für ein Faserbündel mit Faser T, dessen Monodromie A in ein Produkt von L’s und R’s zerlegt ist – betrachtet man dann für jedes vorkommende L die Abbildung s_{23}\mu_2 (wobei s23 die Permutation der 2. und 3. Variablen bezeichnet) und für jedes vorkommende R die Abbildung s_{13}\mu_1 . Einsetzen in die Definition gibt für s_{23}\mu_2: x_1\rightarrow x_1,x_2\rightarrow x_3, x_3\rightarrow \frac{1}{x_2}(x_1^2+x_3^2) und für s_{13}\mu_1: x_1\rightarrow x_3,x_2\rightarrow x_2,x_3\rightarrow\frac{1}{x_1}(x_2^2+x_3^2) .

Der von Hikami und Inoue bewiesene Satz ist dann, dass man die Parameter z1,…,zn der idealen Tetraeder in der im vorigen Absatz beschriebenen idealen Triangulierung des Faserbündels berechnen kann aus den Lösungen einer Periodizitätsgleichung in der Cluster-Algebra, nämlich dass man – bei einem Faserbündel mit Monodromie A=L^{l_1}R^{r_1}L^{l_2}R^{r_2}... – durch Anwendung der den L’s und R’s entsprechenden Operationen neue Cluster bekommt und dann fordert, dass nach dem letzten (n-ten) Schritt man wieder das Ausgangs-Cluster erhält. Das gibt ein Gleichungssystem, dessen Lösungen x_1,x_2,x_3 die Berechnung des Parameters z1 des ersten Tetraeders nach der Formel z_1=-\frac{x_3^2}{x_2^2} (wenn der entsprechende Faktor in A ein R ist) bzw. nach der Formel z_1=-\frac{x_1^2}{x_3^2} (falls der entsprechende Faktor in A ein L war) erlauben. Analog bekommt man die Parameter z_2,z_3,z_4,... des 2.,3.,4.,… Tetraeders, wenn man in die Formeln statt der Variablen x_1,x_2,x_3 aus dem 1.Cluster die entsprechenden Variablen aus dem 2.,3.,4.,… Cluster einsetzt.

Am anschaulichsten ist es wohl, sich das einmal an einem einfachen Beispiel anzuschauen, dem Achterknoten-Komplement. Hier war die Monodromie A=LR, die zugehörige Abbildung ist
(s_{23}\mu_2)(s_{13}\mu_1): x_1\rightarrow x_3,x_2\rightarrow \frac{1}{x_1}(x_2^2+x_3^2), x_3\rightarrow \frac{1}{x_2}(x_3^2+\frac{1}{x_1^2}(x_2^2+x_3^2)),
man muss also das Gleichungssystem
x_1=x_3,x_2= \frac{1}{x_1}(x_2^2+x_3^2), x_3= \frac{1}{x_2}(x_3^2+\frac{1}{x_1^2}(x_2^2+x_3^2))
lösen. Die Lösung ist
x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,x_2=1,x_3=1.
Den Parameter des ersten Tetraeders berechnet man dann als z_1=-\frac{x_1^2}{x_2^2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.
Der zweite Cluster ergibt sich als \tilde{x}_1=x_1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\tilde{x}_2=x_3=1,\tilde{x}_3=\frac{1}{x_2}(x_1^2+x_3^2)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i , der Parameter des zweiten Tetraeders ist z_2=-\frac{x_3^2}{x_2^2}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i .
(Man beachte, dass die komplexen Parameter \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i und \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i isometrische Tetraeder beschreiben, die durch eine Spiegelung ineinander überführt werden können. Wir haben also, wie es natürlich auch sein muss, die selbe Lösung bekommen wie unmittelbar aus den Gleichungen zur Triangulierung oben im 2.Abschnitt.)
Die Rechnung war jetzt eher komplizierter als wenn man die Gleichungen zwischen den Parametern zi direkt gelöst hätte, der Nutzen dieser neuen Beschreibung ist also wohl weniger eine einfachere Berechnung der hyperbolischen Metrik und ihrer Invarianten als eben das Entdecken einer auch anderswo vorkommenden mathematischen Struktur, der Cluster-Algebra, in (Umformulierungen der) Gleichungen, die die Parameter einer idealen Triangulierung einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit beschreiben.

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Kommentare (2)

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