Hier die Auflösung des Weihnachtsrätsels.
Teil I
Aufgabe 1
Wieviele Dreiecke sind im Bild?
Lösung: Es sind 27 Dreiecke: 20 mit der Spitze nach oben, 7 mit der Spitze nach unten.
Aufgabe 2
Finde alle natürlichen Zahlen
Lösung: Weil der Kosinus zwischen 0 und pi/2 monoton fallend ist, kann man mit einem Taschenrechner leicht überprüfen, dass nur n=16 in Frage kommen kann. (-16 ist keine Lösung weil keine natürliche Zahl). Dass n=16 nicht nur ungefähr sondern tatsächlich die Aufgabe löst zeigt man mit der Formel
Aufgabe 3
Gibt es eine Menge von 5 Personen, so dass es weder 3 Leute gibt, die sich (paarweise) nicht kennen, noch 3 Leute, die sich alle kennen?
Lösung: Das Bild zeigt eine Färbung der Kanten zwischen 5 Punkten mit den Kanten Rot und Blau. Wie man sieht, gibt es weder ein rotes Dreieck noch ein blaues Dreieck. Wenn man Rot als “kennen sich” und blau als “kennen sich nicht” interpretiert, gibt es weder 3 Leute, die sich kennen noch 3 Leute, die sich nicht kennen.
Teil II
Aufgabe 1
Wieviele unterschiedliche Würfel mit den Zahlen 1 bis 6 gibt es?
(Dabei sollen zwei Würfel als unterschiedlich gelten, wenn sie sich nicht durch eine Drehung ineinander überführen lassen. Gespiegelte Würfel gelten also als unterschiedlich. Und es geht nur um die Numerierung der Seitenflächen mit Zahlen 1-6, nicht wie das Bild suggerieren könnte darum, wie die Punkte auf den Seitenflächen angeordnet sind.)
Lösung: Es gibt 30 Würfel. Eine der Seitenflächen muss die 1 sein, für die gegenüberliegende gibt es 5 Möglichkeiten. Dann kann man (modulo Drehungen) für eine der 4 verbleibenden Flächen eine beliebige der übrigen Zahlen haben und behält 6 Möglichkeiten für die anderen.
Aufgabe 2
Sei Fk die durch
für alle
definierte Folge. Berechne
Lösung: Das Ergebnis ist 10/89. Falls man die Formel für die Fibonacci-Folge nicht kennt, kann man sie mit dem Ansatz
Aufgabe 3
Ist es möglich, sieben Teilmengen
– es zu je zwei Elementen
– zu je zwei unterschiedlichen Teilmengen
Lösung: Ein Beispiel ist die Fano-Ebene im Bild unten. Ein anderes wäre eine aus 6 Punkten bestehende Gerade, für die jeder Punkt noch einmal mit dem siebenten Punkt eine Gerade bildet. Also
Aufgabe 1
Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich nicht in der Form
Lösung: Die gesuchte Zahl ist 15. Man prüft leicht nach, dass es für alle kleineren Zahlen Lösungen gibt. Und dass es für 15 keine gibt, sieht man ebenfalls durch systematisches Durchgehen der endlich vielen Möglichkeiten.
Aufgabe 2
Die Eulersche Phi-Funktion φ(n) einer natürlichen Zahl n ist die Anzahl aller zu n teilerfremden natürlichen Zahlen, die kleiner als n sind. Zum Beispiel ist φ(p)=p-1 für eine Primzahl p, allgemeiner φ(pk)=pk-1(p-1) falls p eine Primzahl und k eine natürliche Zahl ist, und es ist φ(mn)=φ(m)φ(n) falls m,n teilerfremd sind.
Man finde alle Lösungen von
Lösung: Die Lösungen sind 47 und 94. Aus der Formel mit der Primfaktorenzerlegung sieht man, dass φ(x)=22 nur die Lösungen x=23 und x=46 hat. φ(n)=23 hat keine Lösungen. φ(n)=46 hat die Lösungen n=47 und n=94.
Aufgabe 3
Sei G die 4-elementige Gruppe
Sei GL(2,R) die Gruppe der invertierbaren 2×2-Matrizen.
Finde einen Homomorphismus
Lösung: 1 muss natürlich auf die Einheitsmatrix E abgebildet werden. Eine Möglichkeit für a,b,c sind die Drehungen um 180, 90 und 270 Grad. Eine andere Möglichkeit sind E,-E und -E oder E, P und P, wobei P die Permutationsmatrix
Auswertung
Es gab 16 Einsendungen, von denen 6 (Frank S., Roland K., Jakob H., Armin K., Stephan W., Christian W.) alle Aufgaben richtig hatten und mir also möglichst bald ihre Adresse mitteilen sollten, damit die Kalender noch vor Jahresbeginn ihre Empfänger erreichen. Ich schicke auch noch mal Erinnerungsmails.
(Ich hatte eigentlich angekündigt, noch unter den Teilnehmern mit mindestens 3 Lösungen Kalender zu verlosen. Da die Zahl der 100%igen aber höher war als erwartet und ich nur 6 Kalender zur Verfügung habe, gewinnen nun leider nur die obengenannten. Sorry.)
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