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Beeindruckende Formeln

Von / 22. Februar 2015 / 16 Kommentare
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Einige der beeindruckendsten mathematischen Formeln in einem neuen Video dargestellt und erläutert:

Obwohl die Ersteller von Echt Einfach TV offensichtlich auf Schulmathematik spezialisiert sind, haben sie hier (mit Ausnahme des Satzes von Pythagoras) durchgängig Formeln aus der “höheren” Mathematik ausgewählt:

1. Die Eulersche Identität
2. Das Euler-Produkt
3. Das gaußsche Fehlerintegral
4. Die Mächtigkeit des Kontinuums
5. Die Analytische Fortsetzung der Fakultät
6. Der Satz des Pythagoras
7. Die explizite Formel für die Fibonacci-Folge
8. Das Basler Problem
9. Die Harmonische Reihe
10. Die explizite Formel für die Primzahlzählfunktion

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Kommentare (16)

  1. #1 Karl Mistelberger
    22. Februar 2015

    Ein wirklich schönes Video. Wenn es nicht hier in Mathlog aufgetaucht wäre hätte ich es niemals gefunden, denn um “Schulmathematik” mache ich normalerweiser einen Bogen.

  2. #2 A-P-O
    22. Februar 2015

    Warum ist i mal sin(pi) Null?

  3. #3 Thilo
    22. Februar 2015

    Weil es auch schon ohne den Faktor i stimmt. Der Sinus von 180 Grad ist 0.

    (Gemeint sind hier Radiant, 2pi entspricht also 360 Grad.)

    • #4 rolak
      22. Februar 2015

      2pi entspricht

      ..sehr verschiedenen Werten, abhängig von p 😛

  4. #5 Sepp
    22. Februar 2015

    @A-P-O: Weil die Sinusfunktion bei Pi eine Nullstelle hat.

  5. #6 A-P-O
    22. Februar 2015

    Die Einführung von i ist dann aber vollkommen willkürlich und unnötig.
    e^pi wäre dann auch cos(pi) + sin (pi)

    • #7 rolak
      22. Februar 2015

      Die Einführung von i

      Aber nicht doch, A-P-O, das wird nicht eingeführt, das fällt bei der allgemeinen Gleichung exp(i·φ)=cos(φ)-i·sin(φ) in dem Spezialfall φ=π auf der rechten Seite wegen sin(π)=0 weg und es verbleibt wegen cos(π)=1 das eulersche exp(i·π)-1=0.

      Die ‘1’ ist übrigens, im clip nicht erwähnt, die vierte wesentliche Konstante: Das neutrale Element der Multiplikation (“in den üblichen Zahlenräumen” 😉 )

  6. #8 Stefan S.
    22. Februar 2015

    Ein sehr gutes Video! Das muss unbedingt verbreitet werde.
    Das Beste an diesem Video, finde ich, ist der Schluss.

    ” […]und jeder von euch hat die Fähigkeit, weil er denken kann, solche Formeln herzuleiten, oder solche Formeln überhaupt zu verstehen.[…]”

    Ein wunderbarer Satz. Allzu oft hört man “ich kann das nicht”, “ich bin dafür nicht gemacht”, und grade das ist eben falsch.
    Grundsätzlich kann jeder Mathe.

    Ich habe es in meiner Schulzeit erlebt, dass uns eigentlich nur die Rechentechniken beigebracht wurden, in der Oberstufe wurde uns dann vielleicht noch ein wenig der Hintergrund erläutert.
    Ich habe in letzter Zeit viel darüber nachgedacht, ob es mit an der Art des Mathematikunterrichtes liegen kann, dass viele Menschen nach der Schule der Mathematik überdrüssig sind.
    Und, wenn das so ist, wie könnte man einen besseren Mathematikunterricht auf die Beine stellen?

  7. #9 Sepp
    22. Februar 2015

    @A-P-O:

    Die Einführung von i ist dann aber vollkommen willkürlich und unnötig.
    e^pi wäre dann auch cos(pi) + sin (pi)

    Nein, das ist es nicht. Das kannst du auch ganz leicht selbst ausrechnen 😉 Lies dir einfach mal den Wikipediaeintrag zur Eulerschen Formel durch. Das “i” ist in den Formeln durchaus wichtig.

    • #10 rolak
      22. Februar 2015

      oops, da hat mich einer überholt. SonderzeichenSuche…

  8. #11 Thilo
    22. Februar 2015

    @APO: Der Punkt ist, dass man sowohl die Exponentialfunktion als auch die Winkelfunktionen als Potenzreihen definieren kann:
    e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+\ldots
    \cos(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-+\ldots
    \sin(x)=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{120}x^5-+\ldots

    Wenn man dort dann komplexe Zahlen einsetzt, sieht man die Gleichung e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)

  9. #12 A-P-O
    22. Februar 2015

    Danke für die verständlichen Antworten. Wikipedia ist nicht wirklich hilfreich…

  10. #13 Jakob B.
    24. Februar 2015

    @Stefan S.
    Das beim Mathematikunterricht in Deutschland sehr viel falsch läuft predige ich seit Jahren. Von den USA weis ich, dass dort viele sehr spannende Ansätze diskutiert und erprobt werden. Wenn Du Dich da ein wenig reinlesen magst empfehle ich “Devlin’s Angle” von Keith Devlin: https://devlinsangle.blogspot.de/
    Ältere Texte unter:
    https://www.maa.org/external_archive/devlin/devangle.html
    Vielleicht interessiert Dich auch die Diskussion zu folgendem Scienceblogs-Artikel: https://scienceblogs.de/geograffitico/2013/06/19/mathematik-oder-abenteuerspielplatz/

  11. #14 Martin Peters
    25. Februar 2015

    Gut ausgewählte Beispiele, aber die Erläuterungen sind für Schüler wohl eher nicht zu verdauen, und auch an einigen Stellen etwas holprig.

  12. #15 omnibus56
    11. März 2015

    @Tilo Das zweite Glied der Sinus-Potenzreihe ist -1/6x^3.

  13. #16 Thilo
    11. März 2015

    Naturlich, sorry. In der Formel fur e^x steht es ja auch richtig.