Wir hatten vor zwei Monaten mal über mathematische Theorien geschrieben, in denen aus der Verneinung einer Verneinung nicht die Richtigkeit der doppelt verneinten Aussage folgen würde, in denen also der “Satz vom ausgeschlossenen Dritten” und demzufolge dann auch das Auswahlaxiom nicht gälte.
In einer Welt ohne Auswahlaxiom und ausgeschlossenes Drittes könnte jede Menge messbar sein (im Sinne der Maß- und Integrationstheorie, man könnte jeder noch so komplizierten Menge ein Volumen zuordnen). Insbesondere gäbe es das Banach-Tarski-Paradox nicht, welches besagt dass man eine Kugel in Stücke zerlegen und aus diesen anders zusammengesetzt zwei Kugeln derselben Größe bauen kann – denn das geht natürlich nur, wenn die Stücke nicht-messbare Mengen sind, sonst hätte man ihr Volumen verdoppelt.
Das Banach-Tarski-Paradox war ursprünglich 1914 von Felix Hausdorff entdeckt worden, der damit das Auswahlaxiom widerlegen wollte. Sein 102. Jahrestag gab den Anlaß zur Gau\ss -Vorlesung ”Hundert Jahre Zweisamkeit” Ende Mai in Dresden, über den damals im Anschluß produzierten Podcast hatten wir hier mal geschrieben. (Außerdem hatten wir hier mal ein Video zu den physikalisch-philosophischen Implikationen des Banach-Tarski-Paradox verlinkt und dort ein eher nicht so gelungenes Beispiel der Popularisierung.)
Auch auf der Frage- und Antwortseite mathoverflow.net gibt es in unregelmäßigen Abständen immer wieder Kontroversen über das Auswahlaxiom, die nicht-meßbaren Mengen und die physikalische Realität, mit vielen interessanten Argumenten. Einige Auszüge:
The universe can be very a strange place without choice. One consequence of the Axiom of Choice is that when you partition a set into disjoint nonempty parts, then the number of parts does not exceed the number of elements of the set being partitioned. This can fail without the Axiom of Choice. In fact, if all sets of reals are Lebesgue measurable, then it is possible to partition
into more thanmany pairwise disjoint nonempty sets!
(Dr. Strangechoice in: “Why worry about the axiom of choice?”, https://mathoverflow.net/questions/22927/why-worry-about-the-axiom-of-choice?)
There are some very nice examples of non-Borel sets. Two that I particularly like are the differentiable functions (as a subset of the space of continuous functions on $\left[0,1\right]$, say) and the set of all infinite graphs that contain an infinite clique (as a subset of the set of all graphs with vertex set ${\bf N}$ with the product topology). In general, a continuous image of a Borel set need not be Borel, and many natural non-Borel sets arise this way.
(Timothy Gowers in: “Non-Borel sets without axiom of choice”, https://mathoverflow.net/questions/32720/non-borel-sets-without-axiom-of-choice)
In ergodic theory Lebesgue vs. Jordan is a critical distinction. Whether or not the Stosszahlansatz etc. are physically meaningful as you mean here, such things are of fundamental import to the theory of statistical physics and chaos.
To give a particular toy example in this vein: the SRB measure of a hyperbolic toral automorphism is Lebesgue measure. Consider the pushforwards of a small ball: in the limit, that set will be Lebesgue but not Jordan measurable. But one wants (needs?) the Liouville theorem and ergodic hypothesis.
(Steve Huntsman in: “Physical meaning of the Lebesgue measure”, https://mathoverflow.net/questions/238153/physical-meaning-of-the-lebesgue-measure)
There are two ingredients in the Banach-Tarski decomposition theorem:
1. The notion of space, together with derived notions of part and decomposition.
2. The axiom of choice.
Most discussion about the theorem revolve around the axiom of choice. […] Somewhat amazingly, we can make the Banach-Tarski decomposition go away by extending the notion of subspace, and keep choice too. Alex Simpson in Measure, Randomness and Sublocales (Annals of Pure and Applied Logic, 163(11), pp. 1642-1659, 2012) shows that this is achieved by generalizing the notion of topological space to that of locale. […]
(Andrej Bauer in: “Axiom of choice, Banach-Tarski and reality”, https://mathoverflow.net/questions/238153/physical-meaning-of-the-lebesgue-measure)
Es lohnt sich die zitierten Diskussionsstränge in ihrer Gänze zu lesen, nicht zuletzt weil die hier von mir zitierten Antworten durchaus unrepräsentativ sind.
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