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Fraktale sind nicht selbstähnlich

Von / 26. Februar 2017 / 60 Kommentare
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Irgendwie scheint sich die Vorstellung eingebürgert zu haben, dass Fraktale immer selbstähnliche Mengen sind. Wahrscheinlich weil das für einige der bekanntesten Beispiele ja auch zutrifft. Dabei ist bekanntlich die Küstenlinie Großbritanniens ein Fraktal und durchaus nicht selbstähnlich. (Die Küstenlinie Norwegens ist übrigens noch “viel fraktaler” als die Großbritanniens.) Ein neues Video von 3Blue1Brown erklärt einfach und anschaulich alles Wesentliche über Fraktale.

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Kommentare (60)

  1. #1 denkfix
    26. Februar 2017

    Thilo,
    warum sollte die Küstenlinie ein Fraktal sein, sie ist eine Vereinfachung einer Realität.
    Die Skizze eines menschlichen Gesichtes, ist die dann auch ein Fraktal?

  2. #2 rolak
    26. Februar 2017

    sie ist eine Vereinfachung einer Realität

    Nicht doch so vorschnell, denkfix, Du verwechselst Realität und Bild(Realität): die auf einer Landkarte eingezeichnete Grenze zwischen Land und Wasser ist tatsächlich nur eine grobe Vereinfachung, doch generell ist eine Küstenlinie völlig eindeutig real und fraktal.

    auch ein Fraktal?

    Kommt auf die Skizze an. Smiley: nein. Gesichtsähnlich( verzerrt)es Frakal: ja.

  3. #3 denkfix
    26. Februar 2017

    rolak,
    wenn ich ein Fraktal mathematisch erkläre, als Menge aller Punkte, die die Lösung eines Algorithmuses sind, dann fällt mir die Bezeichnung Fraktal für eine Küsenlinie schwer. Wo ist der Zusammenhang zwischen zwei mathematischen Gleichungen mit einem gemeinsamen Grenzwert und einer Abbildung einer Küstenlinie? Wenn man annimmt, dass die Länge der Küstenlinie unendlich ist, dann stimme ich dir zu, aber das ist sie nicht. Spätestens auf atomarer Ebene kann man nicht kleiner skalieren.

  4. #4 Stephanie
    Hamburg
    26. Februar 2017

    Thilo,
    in dem Video wird ja die Methode mit den Boxen oder Kuben vorgestellt, wie man die Dimension eines nicht selbstähnlichen Fraktals bestimmt. Dabei sind die Punkte beim komplexeren Beispiel der aus Kreisen bestehenden Röhre am Anfang nicht auf einer Geraden verlaufen. Was passiert wenn eine Figur bei immer weiteren Hineinzomen nicht zu einem Fixpunkt der Dimension kommt, ist die Dimension dann echt unbestimmt ? Oder wird aus dem Skalar der Dimension eine Dimensionsfunktion? Kann man dann zu jeder Figur A eine Figur A’ schaffen, so das die Dimensionsfunktion von A’ die Ableitung der Dimensionsfunktion von A ist?

  5. #5 rolak
    26. Februar 2017

    wenn ich ein Fraktal mathematisch erkläre, als Menge aller Punkte, die die Lösung eines Algorithmuses [sic] sind

    Dann hast Du einen krassen Fehler gemacht, denkfix, voll in den Mustopf gegiffen. Die Definition lautet nämlich

    Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Dimension größer ist als ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension.

    Merke: Wörter syntaktisch korrekt zu kombinieren führt generell nicht zu korrekten Aussagen.

  6. #6 Thilo
    26. Februar 2017

    @denkfix: es ist schon richtig, dass man bei der Bezeichnung der Küstenlinie als Fraktal implizit so eine Art von Selbstähnlichkeit unterstellt, also dass die Verzweigung/Verästelung im sehr Kleinen (atomaren) ähnlich aussieht wie im Größeren (wo man sie bestimmen kann) und man deshalb die besagte Hausdorffdimension bekommt. Hätte man im sehr Kleinen kein Verhalten mehr, dann wäre es nach obiger Definition auch kein Fraktal. Insofern kann man natürlich darüber streiten, ob die Hausdorffdimension nicht eher eine Eigenschaft eines mathematischen Modells der Küstenlinie ist als der physikalischen Küstenlinie.

  7. #7 Thilo
    26. Februar 2017

    @Stephanie: Formal wird die Dimension als ein Grenzwert definiert und es ist natürlich möglich, dass ein solcher Grenzwert gar nicht existiert und man dann also keine Dimension hat (oder eher mehrere Dimensionen). Man muss dafür eigentlich gar nicht auf Fraktale zurückgreifen, man kann sich ja auch einfach ein Gebiide nehmen, dass aus 1- und 2-dimensionalen Stücken zusammengesetzt ist, und dann ist die Dimension auch nicht eindeutig definiert. Dann kann man immer noch eine lokale Dimension in jedem Punkt als Grenzwert mittels Würfeln um diesen Punkt definieren, ich vermute aber mal, dass auch dann der Grenzwert nicht immer existieren muss.

    Wegen der Frage nach der Ableitung: das Beispiel mit 1-und 2-dimensionalen Stücken zeigt auch, dass so eine lokale Dimension gar nicht stetig sein muss, erst recht nicht differenzierbar.

  8. #8 Stephanie
    Hamburg
    26. Februar 2017

    @Thilo
    Danke für die Erklärung.
    Es leuchtet ein, dass die lokale Dimension gar nicht stetig sein muss.

    Trotzdem fände ich es mal interessant heraus zu finden, wenn die lokale Dimension differenzierbar ist, wie dann eine Figur aussehen muss die als lokal Dimension dann die Ableitung einer lokalen Dimension einer anderen Figur ist. Vielleicht gibt es da ja unerwartete Zusammenhänge.

  9. #9 denkfix
    27. Februar 2017

    Thilo,
    ….super auf den Punkt gekommen. .Die Hausdorffdimension ist eine mathematische Konstruktion. Neben vielen anderen Dimensionsbegriffen.
    Ich habe bis jetzt keine einleuchtenden Erklärungen gefunden, wie eine Koch-Kurve mit einer Schneeflocke zusammenhängt, wie ein Sierpinski- Dreieck mit einem Baum zusammenhängt, außer man betrachtet die äußere Ähnlichkeit.
    Wenn man jetzt die Box-Methode auf die Küstenlinie anwendet, dann wird dadurch die Küstenlinie nicht zum Fraktal. Bei meiner Quelle beträgt die Dimension bei GB ,m = 1,31. Wenn man die Küstenlinie als Fraktal begreift, dann impliziert das einen Zusammenhang zwischen der physikalischen Wirklichkeit und einem mathematischen Modell. Ich bin mir nicht sicher, was ich denken soll.

  10. #10 tomtoo
    27. Februar 2017

    Sry ich mal wieder.
    Aber was ist eine Dimension in der Mathematik eigentlich ? Ich hab Wiki gefragt also nicht schimpfen. Aber da bin ich zu doof für. Muss eine Dimension nicht irgentwie zusammenhängen ? Wenn ich da riesen Löcher habe ist es dann noch eine Dimension ?

  11. #11 denkfix
    27. Februar 2017

    tomtoo,
    Dimensionen für Dummies,
    Denk dir bei Dimension das wort Ausdehnung. Dann leben wir in der 3. Dimension. Länge, Breite und Höhe. Mathematisch ist das die 3. Potenz.
    Flächen entsprechen der 2. Dimension. Punkte die 1. Dimension.
    Fraktale sind nun mathematische “Gebilde”, die sich in dieses einfache Schema nicht so einfach einordnen lassen.
    Ein Beispiel aus der 2. Dimension: Wenn du bei einer Fläche die Länge weißt, oder die Fläche, dann kannst du durch einfache Division die Breite finden.
    Bei der geschlossenen Koch-Kurve, auch Koch-Insel genannt, geht das nicht. Die Kochinsel sieht aus wie ein Schneestern mit unendlich vielen Zacken.
    Sie hat eine Fläche, die ein Grenzwert ist. Der Umfang der Fläche ist aber unendlich.
    Deswegen hat die Koch-Insel keine ganzzahlige Dimension.
    Ich bin jetzt aktuell nicht auf dem neuesten Stand, aber irgendein Kommentatorkollege kann dir dann die Dimension dieses Gebildes berechnen. Bis dahin
    ex Robert.

  12. #12 Thilo
    27. Februar 2017

    Naja, Kurven sind 1-dimensional und Flaechen sind 2-dimensional. Nicht mehr so klar ist es bei dem Bild rechts unten bzw. wenn man es weiter verfeinert bis die Kurve irgendwann die ganze Flaeche ausfuellt – ist das dann 1- oder 2-dimensional?

    i-1937aace2809f2e8a37308ce28cda360-Peano_curve.png

    Oder dieses Gebilde ist teils 1-dimensional und teils 2-dimensional:

    IMG_0553

  13. #13 Thilo
    27. Februar 2017

    Hatte sich mit dem vorhergehenden Kommentar ueberschnitten.

  14. #14 denkfix
    27. Februar 2017

    Thilo,
    eine Kurve kann eine Fläche nicht ausfüllen.
    Das erscheint uns nur so. Deswegen haben ja die Fraktale gebrochene Dimensionen.
    Oder doch ??
    Geduld, da muss ich mich hineinknien.

  15. #15 Thilo
    27. Februar 2017

    Wie immer hängt es an der mathematischen Begriffs-Definition. Eine Peanokurve füllt tatsächlich eine Fläche aus, nach den üblichen mathematischen Definitionen (Jordankurve) ist sie aber deswegen keine Kurve mehr.

  16. #16 denkfix
    27. Februar 2017

    Thilo, rolak,
    chapeau, gerade habe ich meinen naiven Dimensionsbegriff zu Grabe getragen. Die Hilbert-Kurve, wie sie oben gezeigt wird, ist tatsächlich flächenfüllend.
    Ich muß auch Abschied nehmen von meinem Kurvenbegriff. Also nach meiner Quelle beträgt die Dimension der Koch-Kurve log4 / log3 = 1,2619.
    Und die Überdeckungsdimension zu verstehen ist mein neues Ziel. Bis dahin verabschiede ich mich.

  17. #17 Thilo
    27. Februar 2017

    Ich hatte hier ubrigens schon mal einen Artikel zur Frage “Was ist eine Kurve?”: https://scienceblogs.de/mathlog/2011/05/20/topologie-von-flachen-clxvi/

  18. #18 anderer Michael
    27. Februar 2017

    Uff,
    Da glaubte ich als mathematischer Analphabet ein wenig irgendwas verstanden zu haben, da kommen nun Sie, Thilo, und zerstören meine Illusion 🙁

    Sei’s drum.

    Nur aber bescheiden gefragt, ähnlich bedeutet nicht gleich. Die Tochter sieht der Mutter ähnlich , sieht jedoch nicht genauso aus. So habe ich das verstanden. Teile eines Fraktal sind sich ähnlich. Die Küstenlinie irgendwie verkleinert kann immer sehr ähnliche Strukturen aufweisen, auf einen Bogen folgt eine Kurve , dann eine Gerade ( als Beispiel).
    Wenn also die Rede ist von ähnlich, bedeutet es nicht gleich. Und wenn kleine Teile einer größeren Einheit sich ähnlich sind, dann sind sie halt selbstähnlich, aber nicht gleich.
    Vom sprachlichen verstehe ich die Diskussion nicht. Das Mathematische ist mir zu hoch.

    Oder versteht die Mathematik den Begriff ” ähnlich ” ganz anders?

    Den Satz mit Hausdorff und Lebesgue lerne ich auswendig. Kann ich bestimmt mal gut brauchen.

    P.S.
    Unverhofft kommt oft. Habe soeben meine Frau mit dem Satz kurzfristig ( aber wirklich nur sehr sehr kurzfristig )beeindruckt. Jetzt geht die gesamte Familie zum Karnevalsumzug. 🙂

  19. #19 Thilo
    27. Februar 2017

    Aehnlichkeit in der Geometrie meint, dass Figuren zwar unterschiedlich gross sein koennen, aber sonst genau gleich aussehen. (Ein grosser Kreis sieht genauso aus wie ein kleiner. Ein grosses Quadrat sieht genauso aus wie ein kleineres. Dagegen koennen Rechtecke durchaus unterschiedlich aussehen, zum Beispiel sieht ein Quadrat nicht so aus wie ein Rechteck mit groesserer Hoehe als Breite.)

    Selbstaehnlichkeit bedeutet, dass man die Figur in Stuecke zerlegen kann, die jedes einzelne zur Gesamtfigur aehnlich sind.

  20. #20 tomtoo
    27. Februar 2017

    @Thilo
    @Denkfix
    Erstmal vielen Dank.

    Meine Frage war eigentlich auf eine Dimension in der Mathe als solches bezogen. Also im Alltag ist eine Dimension halt soetwas unendlich langes, zusammenhängendes (kontinuierliches) , gerades. Ist das in der Mathe auch so ?

  21. #21 Thilo
    28. Februar 2017

    @tomtoo: Einen Kreis oder eine Ellipse oder eine Kurve würde man in der Mathematik auch als 1-dimensional bezeichnen, nicht nur die Gerade ist 1-dimensional.

  22. #22 tomtoo
    28. Februar 2017

    @Thilo

    Ok also könnte in der Mathe auch ein sin(x) verlauf z.B als eine Dimension bezeichnet werden ? Also wenn ich in so einer Dimension eine Gerade zeichne ist es eigentlich eine cos(x) Funktion ( oder so lange her) ?

  23. #23 anderer Michael
    28. Februar 2017

    “Ähnlichkeit meint in der Geometrie, dass Figuren zwar unterschiedlich groß sein können, aber sonst genau gleich aussehen”
    Das habe ich nicht gewusst!

    Und wir sind trocken geblieben, aber morgen beim großen Umzug sieht es nass aus!

    Gibt es in Korea auch Karneval? Wahrscheinlich nicht, hat katholische Wurzeln. Und der rheinische Karneval war ziviler Ungehorsam der katholischen Rheinländer gegen die zumeist protestantischen Preußen.

  24. #24 tomtoo
    28. Februar 2017

    @anderer Michael
    “Und wir sind trocken geblieben, aber morgen beim großen Umzug sieht es nass aus!”

    Du weist ja das man das aus mindestens zwei Perspektiven betrachten kann ? ; )

  25. #25 Thilo
    28. Februar 2017

    @tomtoo: Ja, die Sinuskurve ist auch eine 1-dimensionale Kurve.

    @aM: Katholiken gibt es in Korea durchaus, von Karneval habe ich aber noch nichts gehört.

  26. #26 tomtoo
    28. Februar 2017

    @Thilo
    Ok vielen Dank !

  27. #27 anderer Michael
    28. Februar 2017

    Tomtoo
    Heute war Kinderumzug. Da bleibt man innerlich aus Anstand trocken, nicht nur die Akteure auch die Zuschauer.

  28. #28 tomtoo
    28. Februar 2017

    @aM
    War ja nur Spass der auch verstanden wurde. ; )

    @Thilo
    Entschuldige bitte nur noch eine letzte Frage.
    Wie wäre das mit einer perfekten Spirale ? Die würde ja auch die ganze Fläche abdecken ?

  29. #29 rolak
    28. Februar 2017

    Was soll denn bitte eine ‘perfekte Spirale’ sein, tomtoo?

  30. #30 tomtoo
    28. Februar 2017

    @rolak
    Sry ich meine eine bei der kein Zwischenraum zwischen den Windungen ist. Das ist ja mein Problem also die Dimensionalität.

  31. #31 Thilo
    28. Februar 2017

    Hmm, ich finde zwar mit Google Bilder von “perfekten Spiralen”, die nach etwas 2-dimensionalem aussehen, mir ist aber nicht klar, was eigentlich eine perfekte Spirale genau sein soll.

  32. #32 Uli Schoppe
    28. Februar 2017

    Hm, spontanes Bild ist eine archimedische Spirale, Definitionsbereich und Wertebereich bilden ein Quadrat und a strebt gegen Null. Nicht hauen, war jetzt eine ganz spontane Eingebung

  33. #33 rolak
    28. Februar 2017

    kein Zwischenraum

    Nun ja, tomtoo, bei den üblichen Spiralen wird einem Winkel ein Abstand (vom Zentrum) zugeordnet und zwar mit einer streng monotonen Funktion¹. Insbesondere gilt r(phi)≠r(phi+2·pi), d.h. eine Gerade durchs Zentrum und r(phi) wird in keinem der Abstände (r(phi+n·2·pi)+r(phi+(n+1)·2·pi))/2 geschnitten. Anders formuliert: Zwischen den Windungen ist immer Platz, wenn auch nicht unbedingt viel.

    _____
    ¹ ggfs wie bei r²=f(winkel) die +/-wurzel()-Stränge einzeln betrachten

  34. #34 Sim
    28. Februar 2017

    @ rolak

    Na wenn zwischen den Windungen immer Platz ist. Also die Abstände größer Null, dann könnte man ja die gesamten reellen Zahlen bijektiv auf die Zwischenstrecke abbilden. Da kann man ja kaum von “nicht viel Platz” sprechen 😉

  35. #35 tomtoo
    28. Februar 2017

    @rolak
    Vielen Dank ! Ja das war ein doofer Gedanke von mir . Nicht viel Platz ist halt ziemlich relativ.

  36. #36 jere
    1. März 2017

    @tomtoo:
    Vielleicht noch als kleine sprachliche Sache: Bisschen anders als in der Alltagssprache ist eine Dimension in der Mathematik einfach eine Zahl. Eine Eigenschaft, die ein Objekt hat, wie Anzahl Ecken oder Farbe etc.
    Langer Rede kurzer Sinn: Eine Gerade IST keine Dimension, sondern HAT Dimension 1.

  37. #37 rolak
    1. März 2017

    Da kann man ja kaum von “nicht viel Platz” sprechen

    Also meine Finger klemmten beim reality-check ganz schön fest, Sim.
    Nee, im Ernst, Du machst da einen Denkfehler: Von der Bijektivität kannst Du nicht auf die Größe der begehbaren Fläche schließen, da die Zahlen doch überhaupt keinen Platz benötigen – deswegen gehen ja auch unendlich viele (und das ist eine Menge) in diese kleine Menge ℝ. Ist zwar ein großes ‘R’, bietet aber kaum Platz.

    Richtiger Ernst: Das sollte ein wenig sprachspielern mit dem Kopfbild des letztlich dann doch nur großen Kleckses inmitten einer gemalten, enger werdenden Spirale. Zwischen der Strecke r(phi) und dem Punkt (phi, r(phi)) wurde ja auch nicht sauberst unterschieden…

  38. #38 rolak
    1. März 2017

    ℝ

    Mist, die Vorschau kann es – kann dort übersetzt werden ;‑)

  39. #39 Uli Schoppe
    1. März 2017

    @rolak wenn dein r (mein a) gegen Null geht bleibt doch keine Lücke, egal welchen Zahlenraum man benutzt oder?

  40. #40 rolak
    1. März 2017

    bleibt doch keine Lücke, oder?

    Nein, Uli, beim grenzwertigen Wert bleibt tatsächlich keine Lücke. Allerdings bleibt die Frage, inwieweit das Bild der Funktion noch als ‘Spirale’ zu bezeichnen ist, denn mit a=0 (und erst dann ist ‘keine Lücke’ erfüllt) verbleibt nur ein R⇒{0}, alle auf einen, zurück zum Ursprung, alles auf Null.

  41. #41 Uli Schoppe
    1. März 2017

    Hi rolak, noch mal ich. Phi läuft aber per Definition gegen unendlich oder? Wenn man die Funktion entsprechend eingrenzt ergibt sich für mich ein ausgefüllter Kreis. Ist aber möglich das an meinem Verständnis von Grenzwerten seid 30 Jahren etwas falsch ist. Darum frage ich ja.

  42. #42 Sim
    1. März 2017

    @ rolak

    Worauf ich aber dezent hinauswollte ist, dass es keine kleinen und großen Zahlen gibt^^ Solange wir keine Spirale irgendwo an die Wand malen und damit einen Bezug zu unserer Erfahrungswelt herstellen können wir nicht sinnvoll von wenig, aber natürlich auch nicht von viel Platz sprechen. Wir benutzen in der Mathematik ja keine Einheiten für Abstände. Keine cm, keine Meter keine Lichtjahre.

    Ist 1/10^1000000000 eine kleine Zahl? Antwort: Nein. Genausowenig wie 10^1000000000 eine große Zahl ist. Und selbst wenn wir die Spirale in ein Koordinatensystem einzeichnen dann ist die Skalierung völlig willkürlich. Dementsprechend “groß” oder “klein” können Abstände in einem Bild erscheinen.

    ————————————-

    Und doch, ich kann in diesem Fall eine Aussage über die Länge einer Verbindungsstrecke (als Teilmenge einer Geraden durch den Ursprung deren Endpunkte die Schnittpunkte der Geraden mit zwei benachbarten Windungen sind) machen wenn ich weiß, dass es eine bijektive Abbildung zwischen ihr und den reellen Zahlen gibt. Nämlich, dass sie größer als Null ist.

    Ich weiß nämlich dann, dass die Endpunkte der Strecke verschieden sein müssen.

    Weil wären die Endpunkte gleich, dann wäre die Strecke ja einelementig und damit wären die rellen Zahlen wegen der bijektiven Abbildung auch einelementig, was ja bekanntlich nicht stimmt.

    Der Abstand zweier verschiedener Punkte ist wegen der positiven Definitheit der Metrik größer als Null und damit ist die Strecke also auch länger als 0.

    (Natürlich alles unter der Annahme, dass wir hier handelsübliche euklidische Geometrie betreiben)

    ————————————-

    Naja Jedenfalls wie gesagt worauf ich EIGENTLICH hinauswollte ist, dass man ja immer beliebig weit reinzoomen kann in eine Spirale, dass selbst wenn man sie aufmalt ewig viel Platz zwischen den Windungen ist und genau das mache ich im Kopf und dann gibts auch keine großen Kleckse 😉

  43. #43 rolak
    1. März 2017

    gegen unendlich oder?

    Eigentlich ist phi nur ein beliebiges Element der Definitionsmenge (reell, nichtnegativ), Uli, doch selbstverständlich kanns auch als die Kurve ablaufender bzw generierender Parameter gesehen werden, der mit Null anfängt und gegen unendlich strebt.

    ausgefüllter Kreis

    Für die archimedische Spirale r(phi)=a·phi gilt für alle Werte a>0 das oben Beschriebene mit den Zwischenräumen und ein Wachsen von r über alle Grenzen. Der Grenzwert für a→0 existiert, kann schlicht hingeschrieben werden: r(phi) = 0·phi ≡ 0.
    Und sicher, wenn Du magst, kannst Du das ‘ausgefüllter Kreis’ mit Radius 0 nennen.

  44. #44 rolak
    1. März 2017

    nicht sinnvoll von wenig, aber natürlich auch nicht von viel Platz sprechen

    Jein, Sim, das mit dem ‘Platz’ ward nur eingeführt als bewußt falscher Bezug zum wirklichen Leben (‘da paßt noch ein Kommödchen hin’), der beim drüber Nachdenken ein wenig kratzt. Eigentlich sogar nur, um sich selbst als absurde Vorstellung zu demaskieren.
    Aber selbstverständlich kann auch ohne irgendeine Einheit von viel oder wenig PlatzAbstand gesprochen werden, denn Intervallen aus R kann eine reelle Breite zugeordnet werden (Obergrenze-Untergrenze) und diese Breiten können mit der ottonormalen Ordnungsrelation ‘>’ sortiert werden.

  45. #45 denkfix
    1. März 2017

    Rolak, Thilo,
    Ich verlange Schadenersatz weil ihr den Warnhinweis vergessen habt: Vorsicht, Fraktale können süchtig machen!
    So , als Schadensersatz von Rolak verlange ich, dass du dich nicht hinter der Definition von “Fraktal als Menge, deren Hausdorffdimension größer als seine Überdeckungsdimension ist”versteckst, sondern dich auf meinen Gedankengang einlässt, vorallem weil die Hausdorffdimension Selbstähnlichkeit verlangt.
    Ich denke jetzt bei Fraktal nicht an die geometrische Darstellung, sondern an die Wertemenge, die die Grundlage der Darstellung ist. Diese Wertemenge kann verschieden erzeugt werden, z.B. durch eine geometrische Reihe mit einem Grenzwert. Die geometrische Darstellung ist dann eine stetige Abbildung dieser Wertemenge. In diesem Falle befinden wir uns im Zahlenraum der reellen Zahlen.
    Wenn also eine Kurve alle Werte des reellen Zahlenraumes abbilden kann, dann ist sie nach Thilo
    “flächenfüllend”. Richtig oder falsch?
    Dann müsste sie auch die Hausdorfdimension von mindestens 2 haben?
    Thilo,
    ich denke jetzt mal bei Fraktalen an die Selbstähnlichkeit, man könnte auch sagen Musterwiederholung. Bei der Hilbert-Kurve ist das ja optisch gut zu erkennen. Wenn ich jetzt dieses Muster in eine Matrix einfüge mit endlicher Größe, dann würde der Zahlenraum der natürlichen Zahlen ausreichen. Jetzt meine Frage, muss die Matrix unendlich sein, und kann es deshalb Fraktale im Zahlenraum der natürlichen Zahlen nicht geben?

  46. #46 denkfix
    1. März 2017

    Thilo
    Nachtrag: Peano-Kurve.

  47. #47 Thilo
    1. März 2017

    Ja, die Peanokurve hat Hausdorffdimension 2, weil sie ja die ganze Fläche ausfüllt.

  48. #48 Sim
    1. März 2017

    @ rolak

    Das ist mir alles wohl bekannt. Aber der sprachlich kleine aber in der Konsequenz doch entscheidende Unterschied auf den ich hinaus will ist: dass es schon einen Unterschied macht ob man von der kleiner-als oder größer-als Relation spricht welches zwei verschiedenen reelle Zahlen in Relation setzt oder ob man einer reellen Zahl ein Attribut wie “klein” oder “groß” zukommen lassen würde.

  49. #49 denkfix
    1. März 2017

    Thilo,
    du gibst Deine Weisheiten in homöopathischen Dosen ab, was ja sehr gut ist, weil man ja selbst auf die Einsichten kommen muss. O.K.
    Deine Überschrift, Fraktale müssen nicht selbstähnlich sein, du denkst da wahrscheinlich an die “Teufelstreppe”, welchen Hintergedanken verfolgst du damit?
    Mir ist zum Beispiel aufgefallen, dass es “Sudokus” mit Selbstähnlichkeit gibt und solche ohne Selbstähnlichkeit. Wenn man ein Sudoku als 3×3 Matrix betrachtet, die sich wiederholt, dann erkennt man ein wiederkehrendes Muster. Es gibt aber auch Sudokus, bei denen keine erkennbare Wiederholung vorkommt, diesen Algorithmus habe ich noch nicht verstanden. Die Selbstähnlichkeit findet man also auch bei anderen Gelegenheiten. Z.B. bei der Abspeicherung von Digitalcode. Beim Dithering von Fotos um sie zu komprimieren.
    Also ist Selbstähnlichkeit für Fraktale nicht einzigartig?

  50. #50 Thilo
    1. März 2017

    Naja, zum Beispiel die britische oder norwegische Küste sind ja nicht selbstähnlich. Wenn man die jetzt auch im subatomaren Bereich fraktal hätte wie im Großen, dann müßten die trotzdem nicht selbstähnlich sein

  51. #51 Sim
    1. März 2017

    Nochmal @ rolak

    Für die archimedische Spirale r(phi)=a·phi gilt für alle Werte a>0 das oben Beschriebene mit den Zwischenräumen und ein Wachsen von r über alle Grenzen. Der Grenzwert für a→0 existiert, kann schlicht hingeschrieben werden: r(phi) = 0·phi ≡ 0.
    Und sicher, wenn Du magst, kannst Du das ‘ausgefüllter Kreis’ mit Radius 0 nennen.

    Hmmm. Um über Grenzwerte sprechen zu können muss man ja vorher mal sowas wie Folgen definiert haben. Was für Folgen betrachten wir hier? Eine Folge von reellen Zahlen? Eine Funktionenfolge? Eine Folge von Bildmengen ( in dem Fall Teilmenge des R² ) ?

    Ich glaube du verwendest hier punktweise Kovergenz von Funktionenfolgen. Also wenn wir die Parameterkurve phi -> ( a*phi*cos(phi), a*phi*sin(phi) ) betrachten und a als Parameter gegen 0 streben lassen. Also eine (positive) Nullfolge betrachten die wir in die Parameterfunktion anstelle des a einstöpseln, dann ja konvergiert jede so definierte Funktionenfolge punktweise (also für jedes feste phi) gegen die Parameterfunktion phi -> (0,0)

    Aber ist das wirklich so sinnvoll diese Art der Konvergenz zu betrachten? Ich hätte eher gedacht wir schauen uns den Grenzwert einer Bildmengenfolge an für a gegen 0, wenn der denn überhaupt existiert 🙂

    Ich vermute dass das gar nicht der Fall ist. Aber zumindest der Limes superior der Mengenfolge gegen R² geht und der Limes inferior gegen {0}.

  52. #52 denkfix
    1. März 2017

    Thilo,
    die Selbstähnlichkeit ist keine notwendige Bedingung für ein Fraktal. Das hast du jetzt bestätigt.
    Eine abschließende Frage. Bei der Definition der Hausdorffdimension fand ich folgende Erklärung:
    Wenn A eine abzählbare Teilmenge(von R) ist, dann ist D (A) = 0. Ein Fraktal mit der Dimension 0 ist die noch ein Fraktal?
    Ansonsten Hut ab vor Hausdorff.

  53. #53 Thilo
    1. März 2017

    Nein, denn dann ist die Hausdorffdimension ja eben nicht größer als die topologische Überdeckungsdimension.

    Cantormengen sind aber Fraktale, die sind allerdings überabzählbar. https://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge

  54. #54 denkfix
    1. März 2017

    Thilo,
    danke, du warst eine große Hilfe. Um etwas Kluges beitragen zu können, muss ich mich weiter hineindenken. Das braucht Zeit.

  55. #55 JoJo
    2. März 2017

    Der Titel des Beitrags ist ziemlich unglücklich, denn

        “Fraktale sind nicht selbstähnlich”

    bedeutet:

        Was selbstähnlich ist, ist kein Fraktal

    was offenbar falsch ist. Es ist zwar die (korrekte) Übersetzung von “Fractals are not self-similar”, dem Titel des vorgestellten Videos, richtiger wird die Aussage dadurch aber nicht…

  56. #56 jere
    2. März 2017

    Denk dir doch ein i.A. dazu, dann stimmt das.
    “Fraktale sind im Allgemeinen nicht selbstähnlich”, sprich “Nicht jedes Fraktal ist selbstähnlich”

  57. #57 hubert taber
    2. März 2017

    wenn sich die enden einer kurve nicht berühren dann ist es eine 1D-kurve.
    wenn sich die enden berühren dann wird eine 2D-fläche umschlossen.
    noch zum graphischen beispiel mit dem engen muster:
    wenn sich die enden dieser kurve nicht berühren dann wird aus diesem gebilde NIE eine 2D-fläche.

    fraktale sind immer selbstähnlich.
    bei einer anderen, nicht ähnlichen form, sind es nur mehr x-beliebige bruchstücke, aber eben KEINE fraktale mehr.

    ein nulldimensionaler punkt hat keine form und ist kein fraktal.
    und nicht mit wirren strings sondern mit schlichten 0D-punkten ist alles erklärbar.
    mfg.

  58. #58 biotec4u
    3. März 2017

    … ist eigentlich Logisch – auch in der Autoproduktion ist bei 2 gleichen Autos auch nichts absolut identisch. Irgendwo selbst im Lack gibt es auf das tausendstel Gramm nichts gleiches.

    Das Apfelmannchen reproduziert sich aus sich selbst – doch das Nicht gleichsein liegt in der Fluktuation der Quantenphysik – als Nachkommastelle.

    Wir kommen alle aus dem Fünften Haus – wie 5 Kerne des Apfels – sind also eigentlich Pentaquarks in seiner Vielzahl.

    … der Apfel fällt nicht weit vom Stamm – biotec4u

  59. #59 biotec4u
    4. März 2017

    … das Geheimnis der Natur liegt auch hier in den Kryptogamen – wobei Farne und Moose – in ihrer fraktalen Struktur den weiteren Weg der Genesis vorzeichneten. Nichts ist Similar auch wenn der Stengel bei Farnen hier als Symetrieachse diente. Die filigrane Auffecherung zeigt hier sehr schön die Apfelmannchen Struktur.

    Und zu den Kustenlinien von England – hier formten doch Ebbe und Flut mit Hilfe der Gravitation von Mond als Gezeitenwechsel die Apfelmannchen Zerkluftung der Strände.

    … die Natur formt in der Zeit der Ewigkeit – biotec4u

    …

  60. #60 biotec4u
    11. März 2017

    FRAKTALE – sind Musik pur – mit Amii Stewart und ihrem Song – Knock on wood – Video 1979 in YouTube anschauen … its Wonder!

    Black Power of universe – biotec4u