Ein paar Impressionen von der Tagung “Curvature and global shape” in Münster.
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Im Vortrag von Lee Kennard (Oklahoma) ging es darum, welche einfach zusammenhängenden, kompakten Mannigfaltigkeiten eine Metrik positiver Schnittkrümmung tragen. Die einzigen bekannten Beispiele sind die Sphären, die projektiven Räume über verschiedenen Körpern, sowie ein von Eschenburg und drei von Wallach gefundene Beispiele. Die einzigen bekannten Obstruktionen sind die für nichtnegative Schnittkrümmung, z.B. Gromovs Abschätzung der Betti-Zahlen. Kennard untersucht nun gemeinsam mit Burkhard Wilking (Münster) den Fall, dass man zusätzliche Symmetrien hat, nämlich eine isometrische Wirkung eines mindestens 5-dimensionalen Torus, und beweist dass dann als zusätzliche Obstruktion die Euler-Chrakteristik positiv sein muss.
Zur Methodik: sie betrachten totalgeodätische Untermannigfaltikgeiten (z.B. die Orbits der Toruswirkung) und beweisen dass deren Existenz 4-Periodizität in der Q-Kohomologie impliziert, was die Möglichkeiten für solche Mannigfaltigkeiten sehr einschränkt. Ein Satz von Smith aus den 20ern (den man heute mit den Borelschen Methoden der äquivarianten Kohomologie beweist) besagt dann, dass die Fixpunktmengen einer Kreiswirkung auf einer rationalen Homologiesphäre auch wieder rationale Homologiesphären sein müssen. Und schliesslich beweisen sie Starrheitsresultate für Darstellungen Td–>SO(n) ohne nicht-triviale endliche Isotropiegruppen, insbesondere: jede solche Darstellung hat höchstens d(d+1)/2 nicht-äquivalente irreduzible Unterdarstellungen, und für d>2 gibt es eine Untergruppe H so dass die Wirkung von T/H auf Fix(H) als Produkt von S1-Wirkungen spaltet.
Bei Anna Siffert (Bonn) ging es um eine alte Frage aus den 70ern: gibt es unter allen Metriken (normiert auf Flächeninhalt 1) auf einer geschlossenen Flächen eine glatte Metrik, die das Maximum des ersten Eigenwerts realisiert. (Es geht um die Eigenwerte des Laplace-Operators. Dieser hat stets einen Eigenwert 0 als nullten Eigenwert und mit dem ersten Eigenwert ist der nächstkleinste gemeint.) In gemeinsamer Arbeit mit Henrik Matthiesen (Bonn) beweist Siffert die Existenz einer solchen Metrik, die glatt mit endlich vielen konischen Singularitäten ist. (Das “Yes” auf der rechten Tafel bezieht sich auf die Frage nach der Optimalität. Da es extremale Metriken mit konischen Singularität gibt, ist die Antwort auf die rechts stehende Frage also “No”.)
Luigi Verdiani (Florenz) erklärte zunächst mit verschiedenen Beispielen die Geometrie von Kohomogenität-1-Mannigfaltigkeiten, also von Mannigfaltigkeiten mit einer Gruppenwirkung, bei der ein (und demzufolge fast alle) Orbiten Kodimension 1 haben, und diskutierte dann seine Arbeit mit Wolfgang Ziller (Pennsylvania) betreffs der Konstruktion von Metriken mit vorgegebener (gruppeninvarianter) Ricci-Krümmung auf solchen Mannigfaltigkeiten.
David Wraith (Maynooth) beweist, dass für alle k und hinreichend große n der Modulraum positiv Ricci-gekrümmter Metriken auf der Sn Elemente unendlicher Ordnung in seiner 4k-ten Homotopiegruppe hat. Ein entsprechendes Resultat für den Modulraum von Metriken positiver Skalarkrümmung war von Botwinnik-Hanke-Schick-Walsh bewiesen worden, die den Beweis darauf zurückführten, auf Sn-Bündeln über S4k Metriken positiver Skalarkrümmung zu konstruieren. Wraith zeigt, dass man auf diesen Bündeln sogar Metriken positiver Ricci-Krümmung finden kann.
Hans-Bert Rademacher (Leipzig) beschäftigt sich mit der Länge geschlossener Geodäten auf kompakten, einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit M der Schnittkrümmung K≥1, mithin mit der Morse-Theorie des Energiefunktionals auf dem Schleifenraum. Für eine Homologieklasse des Schleifenraums definiert man cr(h) als den minimalen kritischen Wert, für den man diese Homologieklasse mittels Morsetheorie sehen kann, weiter definiert man crl als Maximum von cr(h) über alle Homologieklassen. Rademacher beweist nun dass aus crl=2π2 (mithin einer geschlossenen Geodäte der Länge 2π) bereits folgt, dass M isometrisch zur Sphäre ist. Für 4≥K≥1 war das 1983 von Ballmann-Thorbergsson-Ziller bewiesen worden.
Der Vortrag von Catherine Searle (Wichita) beschäftigte sich wie der von Lee Kennard mit Toruswirkungen auf nichtnegativ gekrümmten (einfach zusammenhängenden, geschlossenen) n-Mannigfaltigkeiten. Die “Maximal Symmetry Rank Conjecture” besagt, dass die Dimension eines effektiv wirkenden k-Torus höchstens k=[2n/3] ist und man die Fälle klassifizieren kann, in denen Gleichheit gilt. In gemeinsamer Arbeit mit Christine Escher (Oregon) beweist Searle diese Vermutung für fast-maximale Wirkungen (d.h. wenn die Dimension des kleinsten Orbits 2k-n+1 ist). Im Beweis benutzt werden Wiemelers Klassifikation der Torus-Mannigfaltigkeiten gerader Dimension und nichtnegativer Krümmung, sowie ein Resultat von Spindeler, welches impliziert dass unter den gegebenen Annahmen fast-maximale Wirkungen sogar maximal sind (die Dimension des kleinsten Orbits ist 2k-n). Mit diesen Voraussetzungen beweisen Escher und Searle dann, dass M äquivariant diffeomorph zu einem freien linearen Quotienten eines Produkts von Sphären ist.
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