Der Index einer Minimalfläche ist die Anzahl der Richtungen (im Normalenbündel der Minimalfläche), in denen das Volumen ein Maximum annimmt. (Also der Morse-Index des Volumenfunktionals.) Eine Vermutung von Marques-Neves-Schoen besagt, dass es für jede Mannigfaltigkeit positiver Ricci-Krümmung ein C gibt, so dass der Index jeder Minimalfläche größer als C mal die erste Bettizahl b1 der Minimalfläche ist. Die Vermutung wurde von Ambrozio-Carlotto-Sharp für kompakte symmetrische Räume vom Rang 1 bewiesen. Ricardo Mendes (Köln) sprach über seine gemeinsame Arbeit mit Marco Radeschi (Notre Dame), die verschiedene andere Spezialfälle und abgeschwächte Versionen der Vermutung beweist, u.a. die Ungleichung index+nullity > C b1 für beliebige kompakte symmetrische Räume.
Im Vortrag von Wolfgang Ziller (Pennsylvania) ging es um verschiedene Eigenschaften 2-dimensionaler Finsler-Mannigfaltigkeiten konstant positiver Krümmung. Katok hatte !n den 70er Jahren Beispiele solcher Metriken auf der 2-Sphäre konstruiert. Ziller in gemeinsamer Arbeit mit Bryant, Foulon, Ivanov, Matveev beweist nun, dass jede Finsler-Metrik konstanter Krümmung auf der 2-Sphäre einen geodätischen Fluss konjugiert zu einem der Katok-Beispiele hat und dass die geodätischen Flüsse zweier Metriken genau dann konjugiert sind, wenn die kürzesten geschlossenen Geodäten gleich lang sind.
Im Vortrag von Marco Radeschi (Notre Dame) ging es um Besse-Mannigfaltigkeiten, d.h., Mannigfaltigkeiten, deren Geodäten alle geschlossen sind. (Die haben als universelle Überlagerung stets eine Mannigfaltigkeit mit der Kohomologie eines kompakten Rang-1 symmetrischen Raumes, in ungeraden Dimensionen also einer topologischen Sphäre.) Durch die selbe Eigenschaft kann man auch Besse-Orbifaltigkieten definieren. Radeschi beweist nun aber mit Carsten Lange (Köln) und Manuel Amann (Karlsruhe), dass in ungeraden Dimensionen Besse-Orbifaltigkeiten mit trivialer Orbifaltigkeitsfundamentalgruppe Mannigfaltigkeiten und demzufolge topologische Sphären sein müssen. (In geraden Dimensionen gibt es dazu Gegenbeispiele, zum Beispiel gewichtete projektive Räume oder fast freie Wirkungen der 3-Sphäre auf höherdimensionalen Sphären)
Llohann Sperança (Sâo Paulo) bewies den an der Tafel stehenden Satz: auf einer kompakten Lie-Gruppe mit bi-invarianter Metrik erhält man alle totalgeodätischen Riemannschen Blätterungen auf die naheliegende Weise: durch Translation einer Untergruppe in alle Basispunkte.
Der Seelensatz von Cheeger-Gromoll besagt dass jede nichtnegativ gekrümmte Mannigfaltigkeit ein Vektorbündel über einer kompakten Mannigfaltigkeit ist. Man kann die Frage stellen, ob umgekehrt jedes Vektorbündel über einer positiv gekrümmten Mannigfaltigkeit eine nichtnegativ gekrümmte Metrik besitzt, zumindest nach Stabiliserung (Multiplikation mit einem trivialen Bündel). David González (Madrid) beantwortet diese Frage positiv für kompakte Rang-1 symmetrische Räume und gemeinsam mit Marcus Zibrowius (Wuppertal) für die verbleibenden positiv gekrümmten homogenen Räume. Die Idee ist, dass es solch eine Metrik auf einer Stabiliserung eines beliebigen Vektorbündels über G/H gibt, wenn die Abbildung vom Darstellungsring von H in die K-Theorie von G/H surjektiv ist. Das reduziert den Beweis auf Berechnungen in K-Theorie.
Im Vortrag von Christoph Böhm (Münster) ging es um die Krümmungseigenschaften homogener Räume, die topologisch ein Produkt eines kompakten homogenen Raumes mit einer homogenen Metrik auf einem Rm sind, insbesondere um den Ricci-Fluss auf diesen. In gemeinsamer Arbeit mit Ramiro Lafuente (Münster) zeigt er, dass für homogene Metriken auf dem Rm der Ricci-Fluss für alle Zeiten existiert und gegen ein expandierendes Ricci-Soliton subkonvergiert.
Frank Reidegeld (Dortmund) sprach über die Konstruktion von G2-Orbifaltigkeiten mit ADE-Singularitäten. Die Idee ist, endliche Gruppenwirkungen auf 7-dimensionalen Tori zu betrachten, welche die die G2-Struktur definierende 3-Form invariant lassen, und dann die Quotientenräume zu nehmen. Insbesondere erhält er auf diese Weise erstmals Orbifaltigkeiten mit D4-, D5– oder E6-Singularität.
Für metrische Maßräume gibt es die Krümmungs-Dimensions-Bedingung von Sturm und Lott-Villani, welche den Begriff unterer Riccikrümmungsschranken aus der Theorie Riemannscher Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Jaime Santos (Madrid) sprach über eine von Ambrosio-Gigli-Savaré erarbeitete Definition, die einige mit der anderen Definition existierende pathologische Beispiele ausschließt, z.B. Finslermannigfaltigkeiten, die nicht als Limiten von Mannigfaltigkieten positiver Riccikrümmung entstehen. In gemeinsamer Arbeit mit Luis Guijarro (Madrid) beweist er, dass die Isometriegruppe solcher Räume beschränkte Dimension hat. (einen anderen Beweis gibt Sosa.)
Kommentare (6)