Brett Kotschwar (Arizona) sprach über gemeinsame Arbeit mit Lu Wang (Wisconsin) über SGRSs (shrinking gradient Ricci solitons), also Funktionen f auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g), die die Gleichung Ric(g)+∇∇f=g/2 erfüllen. Neben den elementaren Beispielen wie der Gaussverteilung auf dem euklidischen Raum oder konstanten Funktionen auf Einstein-Mannigfaltigkieten sind vor allem selbstähnliche Lösungen des Ricci-Flusses interessant. Man kennt die Klassifikation in Dimension 2 und 3. Eine Vermutung von Monteanu-Wahl beschreibt 4-dimensionale SGRSs als entweder mit asymptotisch konisch flachen Enden oder asymptotisch zu S2/GxR2 oder S3xR. Kotschwar und Wang beweisen nun dass ein SGRSs, die asymptotisch zu einem Kähler-Kegel sind, selbst Kähler-Kegel sein müssen.
Bekanntlich gibt es in einer glatten Fläche in fast allen Richtungen nicht-geschlossene Geodäten, und der geodätische Fluss erhält das Liouville-Maß. Das ist unklar für beliebige Flächen mit Singularitäten. Alexander Lytchak (Köln) sprach über seine gemeinsame Arbeit mit Vitali Kapovitch (Toronto) und Anton Petrunin (Pennsylvania), die den Satz von glatten Flächen jedenfalls auf Ränder konvexer Körper im R3 verallgemeinert.
Weitzenböck-Formeln haben die Form Δ=∇∇*+tK(R,ρ) für eine vom Krümmungsoperator R und einer Darstellung der O(n) abhängende Funktion K. Hitchin hatte beweisen dass der Krümmungsoperator nichtnegativ ist gdw. für alle Darstellungen K nichtnegativ ist,
Renate Bettiol (Pennsylvana) in gemeinsamer Arbeit mit Ricardo Mendes (Köln) beweist einen entsprechenden Satz für die Schnittkrümmung und die Darstellungen auf harmonischen homogenen Polynomen. Zum Ende des Vortrags präsentiert er einen Zugang, mit dem man möglicherweise auch algorithmisch die Existenz von Metriken nichtnegativer Schnittkrümmung entscheiden können wird. (Nichtnegative Schnittkrümmung ist äquivalent zu endlich vielen polynomiellen Ungleichungen auf R.) Der ist allerdings noch nicht effektiv, einige Wochen Rechnen auf einem Supercomputer brachten kein wirkliches Ergebnis bisher.
Diego Corro (Karlsruhe) konstruiert Metriken positiver Ricci-Krümmung auf einfach zusammenhängenden n-Mannigfaltigkeiten mit einer effektiven Wirkung des n-2-Torus, unter der die Metriken invariant sind. Das verallgemeinert einen entsprechenden Satz von Bazaikin-Matvienko für 4-Mannigfaltigkeiten, der wohl das erste solche Resultat in Kohomogenität 2 war nach verschiedenen bekannten Exitenzresultaten in Kohomogenität 0 und 1. Beispiele, auf die man das neue Resultat anwenden kann, sind diverse zusammenhängende Summen von Produkten von Sphären.
Bei Matthias Ludewig (Bonn) ging es um Operatoren L, die die Summe einer Potenz des Laplace-Operators mit Termne niedrigerer Ordnung sind. Die Greenfunktion L-1 hat eine asymptotische Entwicklung an der Diagonale, deren konstanter Term die lokale Zetafunktion ist (in ungeraden Dimensionen). Dies wird benutzt, um eine Masse des Operators zu definieren, für die dann eine lokale Transformatiosformel bewiesen wird. Es handelt sich also um eine lokale Invariante, die von der globalen Geometrie abhängt. Der Name “Masse” erklärt sich aus dem Zusammenhang zur ADM-Masse asymptotisch flacher Mannigfaltigkeiten (In Dimension 4 erhält man die Masse des Yamabe-Operators.)
Nina Lebedeva (Petersburg) betrachtete eine komplizierte Längenvergleichseigenschaft metrischer Räume gegenüber dem Rn, die sie als (k,l)-Dipoleigenschaft bezeichnet. Die (k,0)-Dipoleienschaft ist äquivalent zu nichtnegativer Krümmung.In gemeinsamer Arbeit mit Anton Petrunin (Pennsylvania) und Vladimir Zolotov (Köln) beweist Sie dass auch die (2,2)- oder (3,1)-Dipoleigenschaft zu nichtnegativer Krümmung äquivalent sind, dies aber für die (3,3)- oder (4,1)–Dipoleigenschaft nicht gilt. Die Motivation ist die Frage, wann sich Punktmengen isometrisch in einen nichtnegativ gekrümmten Raum einbetten lassen. Zum Beispiel gibt es ein Beispiel einer 6-Punkt-Menge, die keine solche Einbettung erlaubt, aber die (k,0)-Dipolbedingung erfüllt. Sie erfüllt aber nicht die (2,2)-Dipolbedingung. Die (k,l)-Bedingungen sind also stärker als nur die (k,0)-Bedingungen.
Im Vortrag von Christian Bär (Potsdam) ging es um den Dirac-Operator. Im ersten Teil um mit Werner Ballmann (Bonn) gefundene allgemeine Bedingungen, wann der Dirac-Operator auf einer nichtkompakten Mannigfaltigkeit ein Fredholm-Operator ist und man also seinen Index definieren kann. Das verallgemeinert die Arbeit von Atiyah-Patodi.Singer, die eine spezielle Randbedingung betrachtet hatten. Im zweiten Teil ging es um gemeinsame Arbeit mit Alexander Strohmaier (Leeds) und Sebastian Hannes (Potsdam) zum Diracoperator auf Lorentzmannigfaltigkeiten und wann die Bedingungen für die Fredholmeigenschaft dort erfüllt sind. (Für geschlossene Lorentzmannigfaltigkeiten ist der Diracoperator nie Fredholm. Es gibt also keine Lorentzsche Version des Atiyah-Singer-Indexsatzes, jedoch eine des Atiyah-Patodi-Singer-Theorems.)
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