Satz von Rolle bei xkcd

Von Thilo / 11. September 2018 / 10 Kommentare

Xkcd findet in seinem gestrigen Comic den Satz von Rolle zu einfach (oder eher zu kompliziert, obwohl er eigentlich einen einfachen Sachverhalt beschreiben würde).

Nun ist einserseits die Formulierung des Satzes sicherlich nicht zu kompliziert wenn man bedenkt, dass es ja Funktionen gibt, für die der Satz von Rolle nicht gilt, weil dessen Vorausetzungen nicht erfüllt sind:

Und andererseits IST der Satz von Rolle einfach: er hat einen einfachen und kurzen Beweis.

Es gäbe durchaus Beispiele anderer mathematischer Sätze, die ähnlich offensichtlich scheinen, aber deren Beweise sehr viel komplizierter sind. Beispielsweise der Jordansche Kurvensatz: eine geschlossene Kurve zerlegt die Ebene in zwei Gebiete:

Das ist scheinbar offensichtlich, aber kurze Beweise gibt es nur mit den Techniken der Homologiegruppen (und die elementaren Beweise sind recht aufwändig). Und es gibt durchaus irritierende Beispiele wie die Seen von Wada, wo drei (oder mehr) Gebiete eine gemeinsame Randkurve haben. Es kommt halt auf den korrekten Begriff geschlossener Kurven an (TvF 168).

Kommentare (10)

#1 CM
11. September 2018

Es ist nicht der gestrige comic, sondern https://xkcd.com/2042

Also, ich weiß nicht:
1. gibt es noch ein Untertext:

I mean, if it’s that easy to get a theorem named for you … “a straight line that passes through the center of a coplanar circle always divides the circle into two equal halves.” Can I have that one? Wait, can I auction off the naming rights? It can be the Red Bull Theorem or the Quicken Loans Theorem, depending who wants it more.

2. geht https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/2042:_Rolle%27s_Theorem darauf ein, dass um die scheinbare Einfachkeit geht

In meinen Augen geht es Munroe darum einen Witz zu machen. Ich pers. finde diesen Comic nicht besonders witzig, da gibt es bessere – aber das ist Geschmakssache.
#2 rolak
12. September 2018

In meinen Augen geht es Munroe darum einen Witz zu machen

In meinen Augen eine äußerst abwegige Interpretation, CM, wird doch sowohl im toon selbst als auch in dem von Dir sogar verlinkten, ausführlichen Erklärungsversuch deutlichst auseinanderklamüsert, daß beide abschätzigen Einschätzungen (math/art) als gleichwertig einzuschätzen sind: unangemessen wg erwiesener Ahnungslosigkeit.
#3 lueki01
12. September 2018

Interessierter Laie, mit dem Thema weder verwandt, noch verschwägert
———————————————
Und andererseits IST der Satz von Rolle einfach: er hat einen einfachen und kurzen Beweis.

Der Cadillac Escalade 😉
#4 lueki01
12. September 2018

Sorry, aber das hat jetzt so schön gepasst :-))
Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
#5 Frank Wappler
12. September 2018

Thilo schrieb (11. September 2018):
> Xkcd [schrieb:
> Hinsichtlich der Mathmatik komme ich mir ab und zu so vor wie der ahnungslose Kunstmuseumsbesucher, der sich ein Bild scharf ansieht und sagt: “Na, das kann doch jedes Kind malen!” …]

Eher kein Kinderspiel scheint es dagegen zu entscheiden, ob eine (dahingemalte, blaue) Kurve $\mathbf f$ in einem bestimmten Punkt $\mathbf f[ \, c \, ]$ überhaupt einer bestimmten Äquivalenzklasse zueinander tangentialer Kurven angehört (oder ansonsten dort einen Knick hat):

$\mathop{\text{Inf}}_{ \, p, q \in \text{Definitionsbereich von } \mathbf f} \Bigg[ \, \big\{ \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, a \, ], \mathbf f[ \, c \, ] \, ]} \right)^4 \Bigg /$
$\left( \begin{vmatrix} 0 & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) & 0 \cr \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & 0 & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & 1 \cr \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & 0 & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \right)^{\Big 2}$
$\big\} \, \Bigg] > 0.$
#6 Frank Wappler
12. September 2018

Thilo schrieb (11. September 2018):
> Xkcd [… schrieb:

Hinsichtlich der Mathmatik komme ich mir ab und zu so vor wie der ahnungslose Kunstmuseumsbesucher, der sich ein Bild scharf ansieht und sagt: “Na, das kann doch jedes Kind malen!“

…]

Eher kein Kinderspiel scheint es dagegen zu entscheiden, ob eine (dahingemalte, blaue) Kurve $\mathbf f$ in einem bestimmten Punkt $\mathbf f[ \, c \, ]$ überhaupt einer bestimmten Äquivalenzklasse zueinander tangentialer Kurven angehört (oder ansonsten dort einen Knick hat):

$\mathop{\text{Inf}}_{ \, p, q \in \text{Definitionsbereich von } \mathbf f} \Bigg[ \, \Bigg\{ \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, a \, ], \mathbf f[ \, c \, ] \, ]} \right)^4 \Bigg /$
$\left( \begin{vmatrix} 0 & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) & 0 \cr \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & 0 & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & 1 \cr \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) & \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right) & 0 & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \right)^{\big 2}$
$\Bigg\} \, \Bigg] > 0.$
#7 Fluffy
12. September 2018

Formula does not parse
#8 lueki01
13. September 2018

Interessierter Laie, mit dem Thema weder verwandt, noch verschwägert
———————————————
Nachtrag zu #3 + #4
nur zur Erklärung: als ich diesen Beitrag das erste Mal gelesen (und kommentiert) habe, stand unter dem Satz
“Und andererseits IST der Satz von Rolle einfach: er hat einen einfachen und kurzen Beweis” eine Werbung für den Cadillac Escalade. Erst danach ging es mit dem Artikel weiter. Jetzt sehe ich die Werbung nicht mehr!?
Also nichts für ungut und sorry für den Unsinn 🙂

Grüße aus dem schönen Rheinland
Rolf
#9 Frank Wappler
13. September 2018

Fluffy schrieb (#7, 12. September 2018):
> Formula does not parse

Das bezieht sich bestimmt auf meine beiden obigen Kommentar-Versuche (#5, #6).
An der entsprechenden Stelle (nämlich als Nenner eines Bruchs, im Anschluss an den wie vorgesehen dargestellten Geteiltstrich $\Big /$ )
sollte das Quadrat der Cayley-Menger-Determinante aus den Distanzverhältnissen zwischen den drei “Punkten” $\mathbf f[ \, c \, ]$ , $\mathbf f[ \, p \, ]$ und $\mathbf f[ \, q \, ]$ stehen;
d.h. konkret mit den drei Matrix_Elementen
$\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right)$ , $\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right)$ , und $\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right)$ .

(Das Quadrat der CM-Determinante, und entsprechend die vierte Potenz des Distanzverhältnisses $\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, a \, ], \mathbf f[ \, c \, ] \, ]} \right)$ im Zähler des Bruchs deshalb, um eine Festlegung darauf zu vermeiden, ob die Distanzen $d$ sub-additiv oder, wie z.B. Lorentzsche Distanzen, supra-additiv definiert sind.)

Die Formel insgesamt soll besagen, dass die Umkreisradien von Dreiecken bestehend jeweils aus dem (festgehaltenen) “Punkt” $\mathbf f[ \, c \, ]$ und zwei beliebigen (verschiedenen) “Punkten” $\mathbf f[ \, c \, ]$ , $\mathbf f[ \, p \, ]$ und $\mathbf f[ \, q \, ]$ nicht beliebig klein (im Verhältnis zur Distanz zwischen $\mathbf f[ \, c \, ]$ und dem gegebenen “Punkt” $\mathbf f[ \, a \, ]$ ) sein sollen.
#10 Frank Wappler
13. September 2018

Fluffy schrieb (#7, 12. September 2018):
> Formula does not parse

Das bezieht sich bestimmt auf meine beiden obigen Kommentar-Versuche (#5, #6).
An der entsprechenden Stelle (nämlich als Nenner eines Bruchs, im Anschluss an den wie vorgesehen dargestellten Geteiltstrich $\big /$ )
sollte das Quadrat der Cayley-Menger-Determinante aus den Distanzverhältnissen zwischen den drei “Punkten” $\mathbf f[ \, c \, ]$ , $\mathbf f[ \, p \, ]$ und $\mathbf f[ \, q \, ]$ stehen;
d.h. konkret mit den drei Matrix_Elementen
$\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right)$ , $\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right)$ , und $\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, p \, ] \, ]} \right) \, \left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, c \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]} \right)$ .

(Das Quadrat der CM-Determinante, und entsprechend die vierte Potenz des Distanzverhältnisses $\left( \frac{d[ \, \mathbf f[ \, p \, ], \mathbf f[ \, q \, ] \, ]}{d[ \, \mathbf f[ \, a \, ], \mathbf f[ \, c \, ] \, ]} \right)$ im Zähler des Bruchs deshalb, um eine Festlegung darauf zu vermeiden, ob die Distanzen $d$ sub-additiv oder, wie z.B. Lorentzsche Distanzen, supra-additiv definiert sind.)

Die Formel insgesamt soll besagen, dass die Umkreisradien von Dreiecken bestehend jeweils aus dem (festgehaltenen) “Punkt” $\mathbf f[ \, c \, ]$ und zwei weiteren beliebigen (verschiedenen) “Punkten” $\mathbf f[ \, p \, ]$ und $\mathbf f[ \, q \, ]$ nicht beliebig klein (im Verhältnis zur Distanz zwischen $\mathbf f[ \, c \, ]$ und dem gegebenen “Punkt” $\mathbf f[ \, a \, ]$ ) sind.