Das 19. Jahrhundert war die goldene Zeit der projektiven Geometrie. Deren Entwicklung war ursprünglich von der École Polytechnique ausgegangen (Monge, Poncelet, …) und überhaupt war die hohe Wertschätzung der Geometrie auch in der dominierenden Rolle der darstellenden Geometrie an technischen Hochschulen begründet. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts hatte man dann nicht nur die euklidische, sondern auch die „nichteuklidische“ Geometrie (mittels des Beltrami-Klein-Modells) in die projektive Geometrie einbetten können und Felix Klein hatte in seinem Erlanger Programm die projektive Geometrie neben der Gruppentheorie als einheitlichen Rahmen aller Geometrien gesehen.
Es gab Sätze der projektiven Geometrie, in deren Beweisen Abstände vorkamen, die sich also nicht in der Sprache der projektiven Geometrie formulieren ließen. Ein solcher Satz ist der aus dem 4. Jahrhundert stammende Satz von Pappos: wenn sechs Punkte einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden g und h liegen, so liegen die im Bild gezeigten drei Schnittpunkte der sechs Verbindungsgeraden auf einer gemeinsamen Geraden.
Man kann diesen Satz beweisen, indem man in der projektiven Ebene die Gerade durch P7 und P9 als Gerade im Unendlichen auffaßt, womit sich das Schneiden in P7 und P9 als Parallelität der entsprechenden Geraden (in der euklidischen Ebene) manifestiert und man also die Parallelität der sich in P8 schneidenden Geraden beweisen muß. Das wiederum beweist man mit dem Strahlensatz und dessen Umkehrung, für den man die Verhältnisse von Streckenlängen benötigt. Diese sind aber keine projektiven Invarianten, nur das Doppelverhältnis ist eine projektive Invariante.
Ein anderes Beispiel ist der aus dem 17. Jahrhundert stammende Satz von Desargues: wenn sich die Verbindungsgeraden der korrespondierenden Eckpunkte zweier in einer projektiven Ebene liegenden Dreiecke in einem Punkt schneiden, so liegen die Schnittpunkte der entsprechend verlängerten Seiten auf einer Geraden.
Auch hier hat man einen ähnlichen Beweis, wo man die gewünschte Gerade als Gerade im Unendlichen auffaßt und dann Parallelität zweier Geraden beweisen muß, wofür man wieder den Strahlensatz und also die projektiv nicht invarianten Verhältnisse von Streckenlängen verwenden muß.
“Die Geometrie bedarf – ebenso wie die Arithmetik – zu ihrem folgerichtigen Aufbau nur weniger und einfacher Grundsätze. Diese Grundsätze heißen Axiome der Geometrie.” begann David Hilbert die Einleitung seines Bändchens über die “Grundlagen der Geometrie” (der er ein Zitat Kants – „So fängt denn alle menschliche Erkenntnis mit Anschauungen an, geht von da zu Begriffen und endigt mit Ideen.“ – vorangestellt hatte). Und weiter “Die vorliegende Untersuchung ist ein neuer Versuch, für die Geometrie ein vollständiges und möglichst einfaches System von Axiomen aufzustellen und aus denselben die wichtigsten geometrischen Sätze in der Weise abzuleiten, dass dabei die Bedeutung der verschiedenen Axiomgruppen und die Tragweite der aus den einzelnen Axiomen zu ziehenden Folgerungen möglichst klar zutage tritt.” Auch einst als selbstverständlich angesehene Tatsachen formulierte er als Axiome der Inzidenz, der Anordnung („wenn B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A“ usw.) und der Stetigkeit.
Die „Grundlagen der Geometrie“ bestanden aus sieben Kapiteln:
I: Die fünf Axiomgruppen.
II: Die Widerspruchslosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit der Axiome.
III: Die Lehre von den Proportionen.
IV: Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene.
V: Der Desarguessche Satz.
VI: Der Pascalsche Satz.
VII: Die geometrischen Konstruktionen auf Grund der Axiome I-IV.
Im zweiten Kapitel bewies Hilbert die Widerspruchsfreiheit der euklidischen Geometrie unter der Annahme, dass die Arithmetik der reellen Zahlen widerspruchsfrei sei, indem er nämlich aufbauend auf den Eigenschaften reeller Zahlen die Ebene R2 als Modell der euklidischen Geometrie betrachtete und aus dessen Existenz die Widerspruchsfreiheit der Axiome folgerte. (Die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik wurde erst 1936 von Gerhard Gentzen bewiesen.) Durch Hinzunahme eines „Vollständigkeitsaxioms“ – „Die Elemente (Punkte, Geraden, Ebenen) der Geometrie bilden ein System von Dingen, welches bei Aufrechterhaltung sämtlicher genannten Axiome keiner Erweiterung mehr fähig ist“ – wurde Hilberts Axiomensystem „optimal“ in dem Sinne, dass es keine kleineren Modelle gibt: jedes Modell muß isomorph zum R2 mit seinen Anordnungs-, Inzidenz- und Stetigkeitseigenschaften sein. (Die Erfüllbarkeit des Vollständigkeitsaxioms war durch das diesem vorangestellte Archimedische Axiom bedingt.) Die logische Unabhängigkeit der Axiome folgt aus der Existenz weiterer Modelle nach Weglassen einzelner Axiome, beispielsweise der Modelle der nichteuklidischen Geometrie nach Weglassen des Parallelenaxioms.
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