Theorema Magnum MCMXVII: Multiplikativät der Ramanujanschen Tau-Funktion

Mordells Beweis war ein Sonderfall eines zwanzig Jahre später von Erich Hecke entwickelten allgemeinen Ansatzes, der Modulformen als Eigenfunktionen gewisser Operatoren interpretiert. In heutiger Sprache betrachtet man die auf den Modulformen vom Gewicht k wirkenden Hecke-Operatoren . (Hier bezeichnet die Menge der Matrizen der Determinante m, auf der SL(2,Z) von links wirkt.) Die Diskriminante Δ ist eine gemeinsame Eigenfunktion der Operatoren T_m zum jeweiligen Eigenwert τ(m). (Das folgt im Wesentlichen daraus, dass der Raum der Spitzenformen des Gewichts 12 ein 1-dimensionaler Vektorraum ist. Mordell hatte ein anderes Argument: er zeigte, dass T_mΔ/Δ eine beschränkte, holomorphe Funktion und damit nach dem Satz von Liouville konstant ist.) Für die Operatoren hat man die Beziehungen , woraus die entsprechenden Beziehungen für die Eigenwerte zur Eigenfunktion Δ folgen. Man erhält also Ramanujans erste beide Behauptungen.

Die Multiplikativität einer zahlentheoretischen Funktion τ ist unter anderem deshalb eine nützliche Eigenschaft, weil aus ihr unmittelbar folgt, dass die Dirichlet-Reihe in ihrem Konvergenzbereich mit dem über alle Primzahlen gebildeten Produkt übereinstimmt. (Für die multiplikative Funktion erhält man das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion, allgemeiner für Dirichlet-Charaktere die Euler-Produkte der zugehörigen L-Reihen.)

Die τ-Funktion ist von der Ordnung τ(n)=O(n⁶), so dass die Konvergenz der Dirichlet-Reihe nicht offensichtlich ist. Jedoch bewies Erich Hecke (ebenfalls 1917) mit Hilfe der Mellin-Transformation, dass die Reihe auf der gesamten komplexen Ebene konvergiert. Sein Beweis war eine technisch schwierige Verschmelzung der Methoden von Riemann und Landau (der die Konvergenz der Dedekindschen Zeta-Funktion für Re(s)>1-ε bewiesen hatte). Tatsächlich bewies Hecke ein sehr viel allgemeineres Resultat. Er betrachtete sogenannte L-Reihen mit Größencharakteren – dazu gehören beispielsweise die Dedekindschen Zetafunktionen von Zahlkörpern wie auch die L-Reihen von Dirichlet-Charakteren – und bewies für diese ganz allgemein die Konvergenz auf der gesamten komplexen Ebene, sowie die Euler-Produktzerlegung und eine Funktionalgleichung. Im Fall von Körpererweiterungen L/K mit abelscher Galois-Gruppe konnte er mit Hilfe der Funktionalgleichung die Zetafunktion der Körpererweiterung als Produkt von L-Funktionen gewisser Charaktere zerlegen und damit die Beweise einiger Sätze der Klassenkörpertheorie grundlegend vereinfachen.

Hecke verallgemeinerte dann auch in den 20er Jahren die Theorie der Modulformen auf allgemeinere Kongruenzgruppen als nur SL(2,Z). Mordell selbst kam nie wieder zum Thema der Modulformen zurück, offensichtlich war ihm nicht bewußt, dass er auf einen allgemeinen Ansatz auch zur Lösung anderer, ähnlicher Probleme gestoßen war. Die von Mordell betrachteten Operatoren wurden ein Spezialfall der in den 30er Jahren im allgemeinen Kontext entwickelten Hecke-Operatoren.
Die dritte Vermutung Ramanujans wurde erst in den 70er Jahren von Deligne bewiesen.

Bildquelle: https://www3.nd.edu/~dnguye15/mathematicians.html