Theorema Magnum MCMXIX: Kongruenzen der Partitionsfunktion

In der Arbeit von Hardy und Ramanujan waren noch speziellere Eigenschaften der Funktion f beim Beweis nützlich gewesen. Die Funktion f hängt über die Formel eng mit dem Inversen der Dedekindschen Eta-Funktion η(q) zusammen, die nach der Substitution q=exp(2πiz) eine Modulform vom Gewicht 1/2 ist. Damit hatten Hardy und Ramanujan „eine äußerst leistungsfähige analytische Waffe, um das Verhalten von f(x) in der Nähe eines beliebigen zugewiesenen Punkts des Einheitskreises untersuchen zu können“.
Zwanzig Jahre später fand Rademacher den besten Integrationsweg - die mit Hilfe hyperbolischer Geometrie definierten Ford-Kreise - und erhielt eine exakte Formel. Mit diesem Ansatz konnte er auch die Fourier-Koeffizienten anderer Modulformen bestimmen.

Hardy und Ramanujan hatten ihre Formel numerisch testen lassen. Der Kombinatoriker MacMahon galt als Experte in abzählender Kombinatorik, der sogar Ramanujan im Kopfrechnen überlegen war. Auf Bitte Hardys berechnete er in wochenlanger Arbeit p(100)=190569292 und sogar p(200)=3972999029388.
Die von MacMahon berechneten Werte dienten nicht nur der Bestätigung der Approximationsformel, sondern auch neuen Entdeckungen. Ramanujan sah sich die von MacMahon berechnete Tabelle der Werte von p(n) an und beobachtete eine ganze Reihe scheinbar stets erfüllter Kongruenzen wie .
Er vermutete daraufhin, dass aus mit stets folge.

In einer 1919 in den Proceedings of the Cambridge Philosophical Society veröffentlichten Arbeit bewies er die ersten beiden der behaupteten Identitäten, also und . Sein Beweis benutzte Eigenschaften gewisser Modulformen, der Eisenstein-Reihen.

Ebenfalls 1919 veröffentlichte Ramanujan mit Rogers einen Beweis zweier Identitäten, die er bereits vor 1913 vermutet hatte und deren kombinatorische Interpretation als Anzahlen gewisser Partitionen MacMahon sofort erkannt hatte:

– die Anzahl der Partition von n, bei denen sich benachbarte Summanden der Partition um mindestens 2 unterscheiden, ist gleich der Anzahl der Partitionen, bei denen jeder Summand gleich 1 oder 4 mod 5 ist,

– die Anzahl der Partitionen n, bei denen sich benachbarte Summanden der Partition um mindestens 2 unterscheiden und bei der der kleinste Summand größer oder gleich 2 ist, ist gleich der Anzahl der Partitionen, deren Summanden gleich 2 oder 3 mod 5 sind.

Erst durch eine ihm zufällig aufgefallene, bisher weniger beachtete Arbeit von Rogers war Ramanujan auf einen Ansatz zum Beweis dieser Rogers-Ramanujan-Identitäten gestoßen. Es zeigte sich später, dass Issai Schur diese Identitäten bereits 1917 bewiesen hatte, was kriegsbedingt nicht bis England bekanntgeworden war.

Die Art, wie Ramanujan arbeitete, blieb ein Rätsel. Er behauptete, seine Ideen im Traum von seiner Familiengöttin zu erhalten.
Das Wetter und die ungewohnte Ernährung in England verursachten wiederkehrende gesundheitliche Probleme. Er kehrte 1919 nach Indien zurück, wo er ein Jahr später an Tuberkulose verstarb.

Nach seinem Tod veröffentlichte Hardy unter Ramanujans Namen noch einige nachgelassene Manuskripte. In einer 1921 in Mathematische Zeitschrift erschienenen Arbeit wird bewiesen.
Ramanujan hatte in seinen Arbeiten zwar Modulformen verwendet, aber eigentlich nur als Potenzreihen ohne ihre Symmetrien auszunutzen. Mit der Theorie der Modulformen bewiesen andere Mathematiker in den folgenden Jahrzehnten weitere Kongruenzen modulo größerer Primzahlen.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_1.jpg