Theorema Magnum MCMXXVIII: der Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren

Neumann von Margitta ersetzte also die bisherigen Ansätze zur Quantenmechanik durch die Theorie von nicht auf ganz L² definierten selbstadjungierten Operatoren. Er entwickelte dafür eine allgemeine Theorie von Hilberträumen und bewies insbesondere, dass der Raum l² unter den abstrakten Hilberträumen durch die Separabilitätsbedingung (es gibt eine abzählbare, dicht liegende Menge) eindeutig bis auf Isomorphie charakterisiert ist.

Der Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren verwendet Spektralmaße, die die als Spektralscharen bezeichneten Integrale aus Hilberts Spektralsatz für beschränkte Operatoren ersetzten. In Hilberts Theorie hatte man zu einem beschränkten Operator T eine Familie von Projektionsoperatoren, und der Spektralsatz gibt . (Falls das Spektrum diskret ist, ist E_λ die Projektion auf die direkte Summe der Eigenräume zu Eigenwerten ≤ λ. Für beispielsweise den Multiplikationsoperator mit x hat man kontinuierliches Spektrum, weil die Dirac-Distributionen δ(x-x₀) keine zulässigen Funktionen sind und demzufolge x₀ kein Eigenwert ist. Trotzdem hat man in diesem Fall eine Spektralschar, wo E_λ Multiplikation mit der charakteristischen Funktion des Intervalls (-∞,λ] ist.) Neumann von Margitta ersetzte den Begriff der Spektralschar durch den Begriff des Spektralmaßes, einem Maß E auf R mit Werten in den Projektionsoperatoren. Im Fall beschränkter Operatoren erhält man die Spektralschar durch E_λ=E((-∞,λ]). Der allgemeine Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren behauptet dann für selbstadjungierte, dicht definierte Operatoren T.

Mit Hilfe der Transformation T--->U_T:=(T-i1)(T+i1)^-1  führte Neumann den Spektralsatz für (unbeschränkte) selbstadjungierte Operatoren auf den für beschränkte unitäre Operatoren zurück. (Diese Transformation geht auf Cayley zurück, man kann mit ihr die obere Halbebene auf den Einheitskreis abbilden. In der Matrizenrechnung bildet sie symmetrische Matrizen auf orthogonale Matrizen ab. Falls E_λ die Spektralschar für -U_T ist, erhält man die Spektralschar für T als E_2arctan(λ).)
Damit konnte er dann (in der 1928 eingereichten, 1930 in den Mathematische Annalen veröffentlichten Arbeit „Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren“) den Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren beweisen, in zwei weiteren Arbeiten erweiterte er seine Resultate später noch auf normale Operatoren.

In den folgenden Jahren etablierte sich die Funktionalanalysis als selbstständige mathematische Disziplin, vor allem durch von Neumanns Buch "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" und Banachs "Theorie des opérations linéaires". Mit Matrizen arbeitete in der Quantenmechanik dann niemand mehr. Zwar kann man symmetrische Operatoren als unendliche Matrizen darstellen, doch Erweiterungen haben dieselbe Matrix und mit den dadurch entstehenden Pathologien mochte sich niemand herumschlagen.

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