In der additiven Zahlentheorie will man zu einer Menge natürlicher Zahlen A und einer festen Anzahl s herausfinden, welche natürlichen Zahlen n sich als Summe von s Elementen aus A zerlegen lassen. Klassisches Beispiel ist die Goldbach-Vermutung: jede gerade Zahl n≠2 soll Summe zweier Primzahlen sein. Hier ist s=2 und die Menge der Primzahlen. (Aus…
Mannigfaltigkeiten sollen Räume sein, die lokal wie der Vektorraum Rn aussehen. Was exakt unter dem Konzept „Mannigfaltigkeit“ zu verstehen ist, wurde im 19. Jahrhundert zunächst von Riemann, später auch von Klein, Betti, Lipschitz, Dyck und anderen diskutiert. Bei Poincaré waren Mannigfaltigkeiten ursprünglich Untermannigfaltigkeiten im euklidischen Raum, später dann Simplizialkomplexe, womit er wohl implizit annahm, dass…
In einem abgeschlossenen Intervall [a,b] hat jede Folge eine konvergente Teilfolge. Das folgt aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß und es war den Analytikern seit dem 19. Jahrhundert klar, dass das eine sehr nützliche Eigenschaft des abgeschlossenen Intervalls ist, und allgemeiner auch eine nützliche Eigenschaft abgeschlossener und beschränkter Teilmengen des Rn. Frechet hatte 1905 in seiner…
Vor einigen Wochen hatte ich mal über die Mengenlehre geschrieben, die Anfang der 70er Jahre an deutschen Grundschulen eingeführt worden war. In den Kommentaren hatte es dann zahlreiche, fast durchgängig positive Wortmeldungen von damaligen Betroffenen gegeben, was ich recht überraschend fand. Es ist natürlich möglich, dass die Leserschaft der scienceblogs keine repräsentative Stichprobe der Grundgesamtheit…
Für einen Artikel (in den DMV-Mitteilungen) möchte ich folgendes Zitat verwenden: Die Mengenlehre? Ganz einfach! Wenn in einem Raum drei sind und vier rausgehen, muss einer wieder rein, damit keiner drin ist. Dieses Zitat hört und liest man öfter mal (z.B. bei Philipp Rösler) und wenn man mit Google nach dem Zitat sucht, dann findet…
Viele Differentialgleichungen lassen sich mit dem Ansatz lösen, die gesuchte Funktion in Schwingungen (periodische Funktionen) unterschiedlicher Frequenz zu zerlegen. Diese Methode heißt Fourier-Analyse: man schreibt eine 2π-periodische Funktion F(x) als F(x)=f(eix), also als Funktion f:S1—->C, und entwickelt sie in eine Fourier-Reihe f(eix)= Σ aneinx (oder äquivalent in eine Reihe mit Summanden cos(nx) und sin(nx)). Die…
Die Lyrikerin Elke Erb erhält den diesjährigen Büchner-Preis. Ein typisches und vielleicht nicht so bekanntes Werk aus dem Jahr 1980: Bewegung und Stillstand Kommt man mit der S-Bahn von Kaulsdorf über Mahlsdorf und Biesdorf nach Friedrichsfelde-Ost, sieht man zwischen Biesdorf und Friedrichsfelde-Ost links immer diese Neubauten, aus deren Hunderten Fenstern man die S-Bahn zwischen Biesdorf…
Mit statistischen Tests soll eine Nullhypothese H0 (etwa: ein Medikament wirkt nicht besser als ein Placebo) getestet werden. Man hat eine Menge X von möglichen Ereignissen, die durch den Test zerlegen werden soll in zwei Teilmengen: den Verwerfungsbereich A – wo die Nullhypothese abgelehnt wird – und dessen Komplement, wo die Nullhypothese als bestätigt gilt.…
Zwei Diskussionen bei Mathoverflow (Are categories special, foundationally? und Category theory and set theory: just a different language, or different foundation of mathematics?) werfen wieder einmal die Frage nach den „richtigen“ Grundlagen für die Mathematik auf: sollte die Axiomatik der Mathematik auf der Mengenlehre oder auf der Kategorientheorie aufbauen? Es gibt dort eine Reihe interessanter…
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