Viele Differentialgleichungen lassen sich mit dem Ansatz lösen, die gesuchte Funktion in Schwingungen (periodische Funktionen) unterschiedlicher Frequenz zu zerlegen. Diese Methode heißt Fourier-Analyse: man schreibt eine 2π-periodische Funktion F(x) als F(x)=f(eix), also als Funktion f:S1—->C, und entwickelt sie in eine Fourier-Reihe f(eix)= Σ aneinx (oder äquivalent in eine Reihe mit Summanden cos(nx) und sin(nx)). Die Koeffizienten kann man berechnen durch a_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx. Die Zuordnung n–>an ist eine Folge, also eine Funktion Z—->C. Fourierentwicklung gibt also eine Zuordnung zwischen Funktionen auf S1 und Funktionen auf Z, eine Dualität zwischen Z und S1.
Pontrjagin-Dualität liefert die Verallgemeinerung dieser Theorie auf beliebige lokalkompakte, abelsche Gruppen. Zu einer solchen Gruppe G betrachtet man die duale Gruppe \hat{G}:=Hom (G,S^1) (äquivalent: die Gruppe der irreduziblen Darstellungen) und kann dann jeder Funktion f\colon G\to{\bf C} die Fourier-Transformierte \hat{f}(\chi)=\int_G f(g)\overline{\chi}(g)dg zuordnen, womit man eine zur Fourier–Analyse analoge Theorie erhält.

Pontrjagin hatte als 14-jähriger bei der Explosion eines Gasofens sein Augenlicht verloren. Dank seiner Mutter, die ihm neben ihrer Arbeit als Näherin mathematische Bücher und topologische Arbeiten vorlas, machte er trotzdem Karriere. Noch als Student bewies er die allgemeine Version der Alexander-Dualität von Homologiegruppen: für eine abgeschlossene Teilmenge A\subset S^n hat man einen Isomorphismus H_i(A;G)\cong H_{n-i-1}(S^n- A;\hat{G}) für eine kompakte Gruppe G und ihr (diskretes) Dual, also die Gruppe aller irreduziblen Darstellungen, im abelschen Fall einfach \hat{G}:=Hom (G,S^1) . (Mit Alexander-Dualität kann man beispielsweise für einen Knoten unmittelbar die Homologiegruppen des Knotenkomplements berechnen, die insbesondere also nicht vom Knoten abhängen. Alexander hatte diesen Dualitätssatz für endliche Polyeder bewiesen, Alexandrow dann auf abgeschlossene Mengen verallgemeinert. Beide hatten aber nur Koeffizienten G=\hat{G}={\bf Z}/2{\bf Z} betrachtet.)
Pontrjagin formulierte auch als erster ein allgemeines Prinzip, in das alle bekannten topologischen Dualitätssätze paßten: wenn es zu zwei abelschen Gruppen A und B eine Abbildung AxB—->C in eine endliche zyklische Gruppe C oder in die reellen Zahlen gibt, die ein Homomorphismus in beiden Argumenten ist und nicht-ausgeartet ist, d.h. zu jedem von Null verschiedenen Element aus A oder B existiert ein Element aus der anderen Gruppe, so dass das Paar nicht auf Null abgebildet wird, dann ist B dual zu A. (Im Nachhinein liegt das daran, dass Z/mZ und R jeweils zu sich selbst Pontrjagin-Dual sind.)
Damit erhält man zum Beispiel Poincaré-Dualität, indem man für die freien Anteile A von Hk(M;Z) und B von Hn-k(M;Z) die Schnittzahl und für die Torsionsanteile die Torsionsverschlingungszahl betrachtet. Ähnlich bekommt man Lefschetz-Dualität, also die Verallgemeinerung der Poincaré-Dualität auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Die Alexander-Dualität bekommt man, indem man die Verschlingungszahl betrachtet.

Bekannt wurde er aber dann aber für eine andere Dualitätstheorie, die mit den topologischen Dualitätssätzen nur insofern zu tun hatte, dass man für die Koeffizienten der Alexander-Dualität jeweils die in diesem Sinne duale Gruppe braucht. (Was allerdings seine ursprüngliche Motivation zur Entwicklung dieser Dualitätstheorie war.) 1934 entwickelte er die später als Pontrjagin-Dualität bezeichnete abstrakte Theorie der Fourier-Analyse. Diese Theorie funktioniert für lokalkompakte, abelsche Gruppen G und für die mit Homomorphismen nach S1 gebildete duale Gruppe. (Die Homomorphismen nach haben S1 wie Homomorphismen nach R und anders als Homomorphismen nach Z die Eigenschaft, dass sich Homomorphismen einer Untergruppe von G auf ganz G fortsetzen lassen, was für Beweise zentral ist.)
Die duale Gruppe \hat{G} wird mit der schwächsten Topologie versehen, für die die durch \hat{f}(\chi):=\int_G f(g)\chi(g^{-1})d\mu_G(g) gegebene Transformation \hat{f}\colon\widehat{G}\to{\bf C} noch stetig ist.
Lokale Kompaktheit der Gruppe G ist notwendig, weil die Konstruktionen und Beweise ein invariantes Maß auf der Gruppe benötigen. Die Existenz und (bis auf Skalierung mit Konstanten) Eindeutigkeit eines invarianten Maßes μG auf einer lokalkompakten Gruppe G hatte Alfréd Haar in einer 1933 zwei Monate vor seinem Tod in Annals of Mathematics erschienenen Arbeit „Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen“ bewiesen.

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Kommentare (10)

  1. #1 Johannes
    9. Juli 2020

    “””
    wenn es zu zwei abelschen Gruppen A und B eine Abbildung AxB—->C in eine zyklische Gruppe C gibt, so daß zu jedem von Null verschiedenen Element aus A oder B eines aus der anderen Gruppe existiert, so dass das Paar nicht auf Null abgebildet wird, dann ist B dual zu A
    “””
    @thilo hast du eine Referenz für einen Beweis? oder ist das eher als Definition gemeint? Falls Ja warum ist das äquivalent zur bekannten G -> Hom(G, X) (für ein passendes X)

  2. #2 Thilo
    9. Juli 2020

    Das hätte ich vielleicht klarer formulieren sollen. Gemeint ist Dualität in dem Sinne, dass die Abbildung A—>Hom(B,C) ein Isomorphismus und dann auch A isomorph zu B ist. Referenz ist Pontrjagins Diplomarbeit (die ich nicht gelesen habe, sie wird mit diesem Resultat z.B. zitiert im Artikel “The Mathematical work of L.S.Pontryagin” von Anosov-Gamkrelidze-Mishenko-Postnikow).

  3. #3 Tom Tietken
    Prag
    16. Juli 2020

    Tom Tietken
     
    Nikolaus Castell-Castell

    Prag, im Juli 2020

    Das Faktorisieren grosser Zahlen mittels des neuen
    CASTELL-FACT-ALGORITHMUS, 12. Teil.

    Als Teilaspekt hier die Einfuehrung des neuen
    TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS
    zur indirekten, eindeutigen und korrekten Identifizierung und Herstellung
    von Primzahlen (prime numbers) unbegrenzter Groesse.
     

     
    Zielsetzung

    Werden fuer die Faktorisierung grosser Zahlen grosse Zahlen vorgelegt, die verlaesslich aus der Multiplikation von zwei Primzahlen entstanden sind, taucht die folgende Frage nicht auf.
    Ist es aber fraglich, ob die vorliegende “grosse Zahl” ein Produkt aus zwei Primfaktoren ist oder selbst eine Primzahl (die nicht faktorisiert werden kann) oder vielleicht auch nur ein Produkt, das mit den Ziffern 1, 3, 7 oder 9 endet, muss es eine zuverlaessige Moeglichkeit der Klaerung geben, festzustellen, was die vorliegende grosse Zahl darstellt.

    Wenn man einen Blick auf die vielen bisherigen, nicht verlaesslich und eindeutig funktionierenden, Loesungsmoeglichkeiten wirft, weiss man, dass hier ein neuer Ansatz ohne unsichere Mehrfach-Versuche und ohne Fehlerquoten (Fermat, Miller-Rabin, chinesische Restsaetze, Mersenne-Vermutung u.v.a.) und ohne Wahrscheinlichkeitsrechnung, Annaeherungen und Wiederholungen usw. benoetigt wird, der mehr als nur ein “most likely prime” liefert.
    Denn selbst die RSA (Ron Rivest, Shamir, Adleman) verwendet nur “Zufallszahlen”, die keine 100%-igen Primzahlen liefern, sondern sog. “Wahrscheinlich-Primzahlen”.
     
    Die neue Idee des TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS erspart dem Anwender die o.g. Unsicherheiten und Ungenauigkeiten. Sie liefert eindeutig jederzeit und in allen Groessenordnungen “100% Primzahlen”.
     
    Sie vermeidet auch den Nachteil, der bei dem RSA-Multiplizieren von zwei identischen Primzahlen, naheliegend ist, naemlich, dass durch die grossen Spruenge nach Vorne (s. grosse Primzahlen mit sich selbst multiplizieren) andere, kleinere Primzahlen, die unterhalb dieses Sprunges liegen, uebersehen und uebergangen werden……kurz gesagt, dass in der Vorstellung, welche Primzahlen es denn sonst noch gibt, Unordnung entsteht. Bestuende totale Klarheit und Transparenz, muesste die RSA nicht aus Sicherheitsgruenden, “wahrscheinliche” Primzahlen mit sich selbst zu multiplizieren.

     
    Persoenliche Vorbemerkung zum TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS

    Der hier vorgestellte, neue Tietken-Castell-Prim-Algorithmus kann nicht nur Primzahlen auf indirekte Art identifizieren, sondern diese auf indirekte Art auch selbst herstellen.
    Die Loesung, die das o.g. neue Prozedere vorschlaegt, ist einfach und naheliegend.

    Eine Primzahl herzustellen, deren Laenge ein Dutzend Aktenordner fuellt, mag eine beeindruckende Vorfuehrung der quantitativen Moeglichkeiten von Rechen-Maschinen sein, hat aber, abgesehen von dem ersten Nachdenken ueber den Algorithmus fuer die noch relativ kleinen Primzahlen am Anfang, nichts mit qualitativ anwachsendem menschlichen Denken zu tun (vgl. Gimps und 400 Jahre alte Mersenne-Zahlen u.a.). Es ist eine (derzeit noch nutzlose) Show, mit hohen Stromkosten und minimaler menschlicher Eigenleistung.

    Verbale Erklaerung des TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS

    Die Grundueberlegung fuer den vorliegenden Tietken-Castell-Prim-Algorithmus ist, die noch bestehende Unmoeglichkeit, Primzahlen rasch zu erkennen und herzustellen, auf indirekte Weise zu erreichen.

    a)
    Sind Primzahlen nicht einfach und korrekt herstellbar, kann fuer ihre Herstellung auf Pendants zurueck gegriffen werden, die im Differenzverfahren entstehen und im Idealfall (wie hier) exakt berechenbar sind. Das sind hier die wohl-geordneten auf der einen Seite konstant bleibenden Zaehlfaktoren und auf der anderen Seite die in 2-Schritten kardinal anwachsenden gezaehlten Faktoren der ebenfalls wohlgeordnet und nachvollziehbar anwachsenden nicht-Primzahlen bzw. der Produkte in der Naehe der gesuchten Primzahlen.

    Die Primzahlen sind dabei die “Reste”. Es sind die Zahlen, fuer die es keine Faktoren gibt!
     
    b)
    Wenn auf diese indirekte Weise Primzahlen “hergestellt” werden koennen, dann auf diese Weise, dass sich diese Primzahlen von ihrer Position her identifizierbaren lassen.
    Wegen der Einfachheit und wegen des Gleichbleibens aller Schritte und Vorgehensweisen gibt es eine sich in ihren Zahlenwerten aufbauende Reihenfolge von Primzahlen, die keine Fehler oder Luecken aufweisen, d.h. die jede Primzahl erfasst und erkennbar macht.

    Der Tietken-Castell-Algorithmus kann, einmal in Bewegung gesetzt, “maschinell”, also ohne weiteres menschliches Zutun und ohne weitere eigene Gedankenleistung, ein Register aufbauen, das (ohne neuen Input) stetig groesser wird und auf das, da es nach Zahlenwerten geordnet ist, jederzeit Zugriff genommen werden kann!
     
     
    Zahlenbeispiele des TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS

    Der Tietken-Castell-Prim-Algorithmus baut sich pro Zehnerstelle nur mit den Endziffern 1, 3, (5), 7. 9 auf.
    Die 5 wird hier in Klammern geschrieben, da sie eine Ausnahme darstellt. Sie kann (ausser als Einerziffer) auch mit hinzukommenden Dezimalziffern niemals eine Primzahl werden, da Zahlen mit der Endziffer 5 immer durch 5 teilbar sind. Allerdings wird sie in diesem Tietken-Castell-System mitgezaehlt, um eine gleichmaessige Hochzaehlung beizubehalten und bei einer Endzahl “5” nicht jedes mal einen Doppelschritt einlegen zu muessen, bei dem die “5” uebersprungen wird.

    Wie sich zahlenwertmaessig, d.h. hier sukzessive und in gleich bleibender Ordnung, das “Tietken-Castell-Register” (das ist der sich zukzessiv aufbauende Zahlenbestand) vergroessert, zeigt die folgende Graphik, die nach unserer Praemisse eines gleichartig bleibenden Dezimalsystems) unbegrenzt weiter fortgesetzt werden kann!
     
    a)
    In jeder der unbegrenzt vielen Zeilen werden nur Zahlen mit den Endziffern 1, 3, 5, 7 oder 9 erfasst. Denn jede Primzahl muss 1, 3, 7 oder 9 (die Ausnahme 5 entfaellt) als Endziffer aufweisen.

    Allerdings ist nicht jede Zahl mit dieser Endziffer eine Primzahl. Um also saemtliche Primzahlen lueckenlos zu erfassen, muessen saemtliche Zahlen, die eine der vier Prim-Endziffern aufweisen, mit in das Register aufgenommen werden. Unter ihnen befinden sich auch die Primzahlen.Zu identifizieren sind sie damit, dass es fuer sie keine Faktoren gibt.

    b)

    Die Zeilen des Tietken-Castell-Registers sehen immer gleich aus. Alle Zeilen weisen die Endziffern 1, 3, 5, 7 und 9 auf. Und jede weitere hinzukommende Zeile erhaellt eine Zehnerdezimal-Stelle zusaetzlich:
     
    1 3 5 7 9
    11 13 15 17 19
    21 23 25 27 29
    31 33 35 37 39
    41 43 45 47 49
    51 53 55 57 59
    61 63 65 67 69
    71 73 75 77 79
    usw.
    oder:
    1001 1003 1005 1007 1009
    1011 1013 1015 1017 1019
    1021 1023 1025 1027 1029
    usw.
    oder:
    2381 2383 2385 2387 2389
    2391 2393 2395 2397 2399
    2401 2403 2405 2407 2409
    2411 2413 2415 2417 2419
    usw.
     
    c)
    Es wird hier also behauptet, dass es keine Begrenzung der Zahlen nach oben hin gibt!
    Allerdings wird hier keine ca. 2-Millionen-stellige Primzahl gesucht wird, sondern vorerst “nur” 1.000- bis 2.000-stellige “grosse Zahlen”, die durch Multiplikation aus zwei Primzahlen entstanden sind.

    Nach hiesiger Einschaetzung kann diese Aufgabe (selbst unter der Praemisse, dass die Primzahlen mit anwachsenden Zahlen immer seltener werden) leichter und schneller bewerkstelligt werden, als in einem unuebersichtlichen Meer von Moeglichkeiten, Primzahlen nach dem Zufallsprinzip zu finden und anschliessend das Problem zu haben, diese Zahl zuverlaessig als Primzahl zu identifizieren…..

    Der hierfuer noetige Tietken-Castell-Prim-Algorithmus muss dafuer lueckenlos hochzaehlen, durchgaengig addieren, die ununterbrochene Verbindung mit den vorangegangenen Faktoren halten, Multiplikationen zwischen zwei Primzahlen herstellen und sich deren Ergebnisse als “grosse Zahlen” merken, um sie spaeter mit ihren mitgelieferten Faktoren abrufen zu koennen!
     
    d)
    Um nur Zahlen mit den Endziffern 1, 3, 7 oder 9 im Register zu erhalten, werden saemtliche Zahlen mit den Endziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 aus dem Register ausgeschlossen. Die 5 wird im Register mitgezaehlt, spielt aber keine weitere Rolle.
     
    e)
    Jede Zahl des o.g. Registers stellt sich also selbst als konstanten Faktor fuer eine eigene Zahlenreihe von weiteren Zahlen (in Abstaenden von 2 mal die jeweilige Zahl) zur Verfuegung.

    Immer, wenn sich wegen fehlender Faktoren, die sie hergestellt haben koennten, eine Zahl als Primzahl herausstellt, wird auch diese mit sich selbst multipliziert und beginnt ab der Stelle des entstandenen Produkts (einer “grossen Zahl” aus zwei Primzahlen) eine neue und unbegrenzte Zahlenreihe im Register.

    Primzahlen sind Zahlen, die im Tietken-Castell-Register ohne Faktoren auftreten. Sind aber Faktoren (zwei oder mehr) an der Entstehung der vorliegenden Zahl beteiligt, handelt es sich bei dieser nicht um eine Primzahl.

    Da die entsprechenden Faktoren “links” in der Vergangenheit liegen, wird dort schon das Produkt errechnet. Taucht dann die in der Vergangenheit errechnete Zahl auf, ist sie bereits als Produkt, zusammen mit ihren Faktoren, bekannt. So kann auch festgestellt werden, ob es sich bei der vorliegenden Zahl um eine “grosse Zahl” handelt, d.h. um ein Produkt aus zwei Primzahlen.
     
    f)
    Im folgenden wird die Wirkungsweise der Zahlen im Tietken-Castell-Prim-Algorithmus veranschaulicht. Zwangslaeufigerweise beginnt der Anfang mit kleinen Zahlen. Das Prinzip der Vorgehensweise und des Nutzens setzt sich aber genau wie am Anfang auch nach oben hin unbegrenzt fort, denn die Gesetzmaessigkeiten des Dezimalsystems bleiben fuer kleine und grosse Zahlen dieselben, und die immer gleiche Vorgehensweise des Tietken-Castell-Prim-Algorithmus aendert sich ebenfalls nicht.
     
     
    g)
    1. Zeile, 1. Zahl: 3

    Die 3 wird, wie alle Zahlen des Registers, mit sich selbst multipliziert, ergibt 9 und beginnt ab hier die erste Zahlenreihe, die sich durch saemtliche, immer groesser werdende, Zahlen des Tietken-Castell-Registers hindurchzieht.

    Diese 3 bleibt als zaehlende Konstante erhalten und bildet erst mit sich selbst, d.h. mit der 3, und danach mit den ungerade Zahlen 5, 7, 9, 11, 13, (15), 17, 19, 21, 23, (25), 27, 29 31, 33,(35), 37, 39 usw. neue Zahlen, die manchmal normale Produkte sind, aber manchmal auch Produkte aus zwei Primzahlen sind.
    3 ist eine Primzahl, da sie im Register keine Faktoren von links hat.
    Wird sie multiplziert mit z.B. 11 oder 13, fuer die das Gleiche gilt, stellt das entstehende Produkt 33 oder 39 solche zum Verschluesseln geeignete “grosse Zahlen” dar.

    Bei den immer haeufiger werdenden Zahlenreihen, die sich unbegrenzt lang durch das gesamte Register ziehen, kann es bei Zahlen, dort, wo sich Zahlenreihen ueberschneiden, Mehrfachbelegungen geben, was bedeutet, dass die betreffende Zahl mehrere Faktoren hat. Am wichtigsten fuer den Tietken-Castell-Prim-Algorithmus ist es aber in diesem Zusammenhang, festzustellen, ob sie ueberhaupt Faktoren hat. Hat sie naemlich Faktoren, kann eruiert werden, ob diese Faktoren prim waren und sich das Produkt als “grosse Zahl” fuer die Kryptographie eignet. Hat sie keine Faktoren, handelt es sich (wie bereits betont) selbst um eine Primzahl. In diesem Fall kann es auch keine Mehrfachbelegungen geben.
     
    h)
    1. Zeile, 2. Zahl: 5

    Die 5 ist eine Primzahl, weil, wie bei der 3, keine Faktoren zu ihr hinfuehren.
    Ihre Zahlenreihe beginnt ab 5 * 3 = 15, wird aber mit ihren hinzukommenden Dezimalziffern niemals mehr eine Primzahlen sein, da sie stets durch 5 teilbar sein wird.

    i)
    1. Zeile, 3. Zahl: 7
    Die 7 ist eine Primzahl und beginnt mit 7 * 3 ( = 21) als 7er-Reihe ihren unlimitierten Marsch durch das Tietken-Castell-Register.
     
    i)
    1. Zeile, 4. Zahl: 9

    Die 9 ist eine Zwischenstufe der 3er-Reihe und darum keine Primzahl. Sie bildet aber mit Dezimalstellen zusammen eine wichtige Prim-Endziffer und ergibt oft selbst Primzahlen, z.B. 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229 239, 269, 349, 359, 379, 389 und unbegrenzt viele andere!

    Die 9er-Zahlenreihe, die sich durch das Tietken-Castell-Register ziehen wird, beginnt mit 9 * 3 ( = 27) und wird mit der 9 als konstantem Faktor und den anderen, bei allen Zahlenreihen gleichen ungeraden Faktoren (neben 3, die 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 und unbegrenzt so weiter) die ersten Zahlen der 9er-Reihe bilden.

    Da die Einerstelle 9 keine Primzahl ist, koennen keine fuer die Kryptographie benoetigten “grossen Zahlen” gebildet werden, obwohl die gezaehlten zweiten Faktoren 11, 13, 17, 19, 23, 29 und 31 Primzahlen sind und sich dafuer geeignet haetten. Diese Ausgangssituation aendert sich aber im Zusammenhang mit Dezimalstellen. Schon ab den o.g. 19, 29, 59, 79, 89, 109 usw. ist die Prim-Endziffer 9 als Teil von Primzahlen wieder im Rennen.
     
    k)
    Resumee aus der 1. Zeile:

    Bereits bei diesen o.g. nur 4 Beispielen ist zu sehen, dass die Faktoren (soweit sie vorhanden sind) eine regelmaessige Reihenfolge einhalten. Auf der einen Seite Zahlen mit immer den gleichen Endziffern in der gleichen Reihenfolge (1, 3, (5), 7, 9) und auf der anderen Seite stets die gleichen ungeraden Zahlen in 2er-Schritten kardinal hochgezaehlt.
     
    l)
    2. Zeile, 1. bis 5. Zahl: 11 bis 19
     
    Die 2. Zeile berechnet sich, genauso wie alle unbegrenzten weiteren Zeilen, wie die 1. Zeile.

    (1)
    11 wird mit 3, 5, 7, 9,11 usw.multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 11 * 11 = 121 (d.h. eine “grosse Zahl”), danach setzt die 11 ihre Reihe mit 11 * 13, 11 * 15, 11 * 17, 11 * 19, 11 * 21 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 11 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine “grosse Zahl” zu bilden.

    (2)
    13 wird mit 3, 5, 7, 9, 11,13 usw.multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 13 * 13 = 169 (d.h. eine “grosse Zahl”), danach setzt die 13 ihre Reihe mit 13 * 15, 13 * 17, 13 * 19, 13 * 21, 13 * 23 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 13 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine “grosse Zahl” zu bilden.

    (3)
    15 wird mit 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 usw. multipliziert, kann aber niemals eine “grosse Zahl” fuer die RSA-Kryptographie mit erschaffen, da sie nur als Einerziffer (5) prim ist.

    (4)
    17 wird mit 3, 5, 7, 9, 11,13, 15, 17 usw.multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 17 * 17 = 289 (d.h. eine “grosse Zahl”), danach setzt die 17 ihre Reihe mit 17 * 18, 17 * 19, 17 * 21, 17 * 21, 17 * 23 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 17 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine “grosse Zahl” zu bilden.

    (5)
    19 wird mit 3, 5, 7, 9, 11,13, 15, 17, 19 usw.multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 19 * 19 = 361 (d.h. eine “grosse Zahl”), danach setzt die 19 ihre Reihe mit 19 * 21, 19 * 23, 19 * 25, 19 * 27, 19 * 29 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 19 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine “grosse Zahl” zu bilden.

    (6)
    21 wird mit 3, 5, 7, 9, 11,13, 15, 17, 19, 21 usw.multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 21 * 21 = 441 (d.h. eine “grosse Zahl”), danach setzt die 21 ihre Reihe mit 21 * 23, 21 * 25, 21 * 27, 21 * 29, 21 * 31 usw. unbegrenzt fort.
     
    m)
    Resumee der 1. bis unbegrenzt “letzten” Zeile:

    Die oben gezeigten Faktoren beweisen die Ordnung, Berechenbarkeit und Richtigkeit dieses Tietken-Castell-Prim-Algorithmus.
    Es werden bei diesem Tietken-Castell-Prim-Algorithmus fuer die Erkennung, ob bei einer mehr oder weniger zufaellig gefundenen oder unzuverlaessig errechneten Zahl eine Primzahl vorliegt, keine der anfangs genannten komplizierten und unzuverlassigen Verfahren angewendet.

    Wenn in einer Zeile, hier z.B. der dritten Zeile, die 21 und 27 zu sehen sind, so ist aus der ersten Zeile bekannt, dass die 21 zur 3er-Reihe gehoert aus 3 * 7 (oder in Additionsform geschrieben: Zur 3 + 6 + 6+ 6) und die 27 zur 9-er Reihe gehoert aus 3 * 9 (oder in Additionsform geschrieben: 9 + 18).
    Zu den Zahlen 23 und 29 der gleichen (hier dritten) Zeile aber fuehren keine Faktoren.
     
    n)
    Die Abstaende:

    Fuer den Algorithmus kann es eine Erleichterung sein, nur addieren zu muessen. Denn es faellt auf, dass die Abstaende wegen der ersten Multiplikation mit sich selbst (d.h. einer Multiplikation mit 2)) zwischen allen Zahlen einer Reihe gleich bleiben.
    Er bildet immer genau zweimal den ersten Zaehlfaktor. Insofern koennte der Algorithmus nach der ersten Multiplikation die folgenden Zahlen in einer Zahlenreihe auch per Addition der immer gleichen Abstaende bilden.

    (1) 3 bildet zu 9 den Abstand 6. Somit folgen nach dieser 9 die Zahlen 15 (9=6), 21 (=15+6), 27 (21+6), 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75 und immer so weiter.
    (2) 5 vergroessert sich in 10er-Schritten (aus 2 * 5).
    (3) Das Gleiche gilt fuer 7. Die Abstaende der Zahlen in dieser Zahlenreihe werden 2 * 7 = 14 betragen (49, 63, 77, 91, 105, 119 usw.).

     
    Beginn der 3er-Reihe:

    Rechts von allen Zahlen stehen in dieser Graphik die Faktoren, die abrufbare Hinweise auf ihre spaeteren Produkte geben. Der Algorithmus speichert diese.
    Links von diesen spaeteren Produkten werden ihre Faktoren noch einmal notiert, um den Bezug zu ihnen zu demonstrieren.

    Primzahlen haben, wie jetzt bekannt, auf ihrer linken Seite keine Hinweise auf Faktoren. Allerdings sagt bei dieser Teilliste, die nur den Weg der 3 zeigt, also noch unvollsstaendig ist, das Fehlen von links der Zahl stehenden Faktoren noch nichts darueber aus, um welche Art von Zahl es sich handelt (Primzahl, “grosse Zahl” oder einfaches Produkt).

    Es gibt auch hier am Anfang des Registers bereits viele Doppelbelegungen bei einzelnen Zahlen, d.h. sich ueberschneidende Zahlenreihen, z.B. treffen sich die 3er-Reihe mit 3*21 und die 7er-Reihe mit 7*9 in der Zahl 63. Im zweiten Fall (7 * 9) wuerde sich die 63 als “grosse Zahl” eignen.
    (Es waere zu pruefen, ob solche Ueberschneidungen von mehreren Faktorenpaaren in 1 Zahl die kryptographische Sicherheit einer “grossen Zahl” nicht erhoeht, da sie weniger eindeutig zu faktorisieren ist)

     
    A) 
    Die ersten 120 Zahlen unter Beruecksichtigung nur der 3er-Reihe:

    1 3(3*3=9) 5(3*5=15) 7(3*7=21) (3*3=9)9(3*927)
    11(3*11=33)13(3*13=39) (3*5=15)15(3*15=45) 17(3*17=51) 19(3*19=57)
    (3*7=21)21(3*21=63) 23(3*23=63) 25(3*25=75)(3*9=27)27(3*27=81) 29(3*2=87)
    31(3*31=93)(3*11=33)33(3*33=99)35(3*35=105)37(3*37=111)(3*13=39)39(3*117)
    41(3*41=123) 43(3*43=129) (3*15=45)45(3*45=135) 47(3*47=141) 49
    (3*17=51)51(3*51=153) 53(3*53=159) 55(3*55=165) (3*19=57)57(3*57=171) 59(3*59=177)
    61(3*61=183) (3*21=63)63(3*63=189) 65(3*65=195) 67(3*67=201) (3*23=69) 69(3*69=207)
    71(3*71=213) 73(3*73=219) (3*25=75)75(3*75=225) 77(3*77=231) 79(3*79=237)
    (3*27=81)81(3*81=243) 83(3*83=249) 85(3*85=255) (3*29=87)87(3*87=261) 89(3*89=267)
    91(3*91=273) (3*31=93)93(3*93=279) 95(3*95=285) 97(3*97=291) (3*33=99)99(3*99=297)
    101(3*101=303) 103(3*103=309) (3*35=105)105(3*105=315) 107(3*107=321) 109(3*109=327)
    (3*37=111)111(3*111=333) 113(3*113=339) 115(3*115=345)(3*117=351)117(3*117=351)119(3*119=357)
    121(3*121=363)(3*41=123) 123(3*123=369) 125(3*125=375) 127(3*127=381) (3*43=129)129(3*129=387)
    131(3*131=393) 133(3*133=399) (3*45=135)135(3*135=405) 137(3*137=411) 139(3*139=417)
    (3*47=141)141(3*141=423) 143(3*143=429)145(3*145=435) (3*49=147)147(3*147=441) 149(3*149=447)

    B) 
    Die ersten 120 Zahlen unter Beruecksichtigung nur der 5er-Reihe:
    (keine Prim-Endziffer, aber ungerade. Abstaende in 10er-Schritten):
     
    1 3(5*3=15) 5(5*5=25) 7(5*7=35) 9(5*9=45)
    11(5*11=55) 13(5*13=65) (5*3=15) 15(5*15=75) 17(5*17=85) 19(5*19=95)
    21(5*21=105) 23(5*23=115) (5*5=25)25(5*25=125) 27(5*27=135) 29(5*29=145)
    31(5*31=155) 33(5*33=165) (5*7=35)35(5*35=175) 37(5*37=185) 39(5*39=195)
    41(5*41=205) 43(5*43=215) (5*9=45)45(5*45=225) 47(5*47=235) 49(5*49=245)
    51(5*51=255) 53(5*53=265) (5*11=55)55(5*55=275) 57(5*57=285) 59(5*59=295)
    61(5*61=305) (7*9=63)63(5*63=315) (5*13=65)65(5*65=325) 67(5*67=335) 69(5*69=345)
    71(5*71=355) 73(5*73=365) (5*15=75)75(5*75=375) (7*11=77)77(5*77=385) 79(5*79=395)
    81(5*81=405) 83(5*83=415) (5*17=85)85(5*85=425) (5*29=87)87(5*87=435) 89(5*89=445)
    (7*13=91)91(5*91=455) 93(5*93=465) (5*19=95)95(5*95=475) 97(5*97=485) 99(5*99=495)
    101(5*101=505) 103(5*103=515) (5*21=105)105(5*105=525) 107(5*107=535) 109(5*109=545)
    111(5*111=555) 113(5*113=565) (5*23=115)115(5*115=575) 117(5*117=585) 119(5*119=595)
    121(5*121=605) 123(5*123=615) (5*25=125)125(5*125=625) 127(5*127=635) 129(5*129=645)
    131(5*131=655) 133(5*133=665) (5*27=135)135(5*135=675) 137(5*137=685) 139(5*139=695)
    141(5*141=705) 143(5*143=715) (5*29=145)145(5*145=725) 147(5*147=735) 149(5*149=745)

    C) 
    Die ersten 120 Zahlen unter Beruecksichtigung nur der 7er-Reihe:
     
    1 3(7*3=21) 5(7*5=35) 7(7*7=49) 9(7*9=63)
    11(7*11=77) 13(7*13=91) 15(7*15=105) 17(7*17=119) 19(7*19=133)
    (7*3=21)21(7*21=147) 23(7*23=161) 25(7*25=175) 27(7*27=189) 29(7*29=203)
    31(7*31=217) 33(7*33=231) (7*5=35)35(7*35=245) 37(7*37=259) 39(7*39=273)
    41(7*41=287) 43(7*43=301) 45(7*45=315) 47(7*47=329) (7*7=49)49(7*49=343)
    51(7*51=357) 53(7*53=371) 55(7*55=385) 57(7*57=399) 59(7*59=413)
    61(7*61=427) (7*9=63)63(7*63=441) 65(7*65=455) 67(7*67=469) 69(7*69=483)
    71(7*71=497) 73(7*73=511) 75(7*75=525) (7*11=77)77(7*77=539) 79(7*79=553)
    81(7*81=567) 83(7*83=581) 85(7*85=595) (7*29=87)87(7*87=609) 89(7*89=623)
    (7*13=91)91(7*91=637) 93(7*93=651) 95(7*95=665) 97(7*97=679) 99(7*99=693)
    101(7*101=707) 103(7*103=721) (7*15=105)105(7*105=735) 107(7*107=749) 109(7*109=763)
    111(7*111=777) 113(7*113=791) 115(7*115=805) 117(7*117=819) (7*17=119)119(7*119=833)
    121(7*121=847) 123(7*123=861) 125(7*125=875) 127(7*127=889) 129(7*129=903)
    131(7*131=917) (7*19=133)133(7*133=931) 135(7*135=945) 137(7*137=959) 139(7*139=973)
    141(7*141=987) 143(7*143=1001) 145(7*145=1015) (7*21=147)147(7*147=1029) 149(7*149=1043)

    D) 
    Die ersten 120 Zahlen unter Beruecksichtigung nur der 9er-Reihe:
     
    1 3(9*3=27) 5(9*5=45) 7(9*7=63) 9(9*9=81)
    11(9*11=99) 13(9*13=117) 15(9*15=135) 17(9*17=153) 19(9*19=171)
    21(9*21=189) 23(9*23=207) 25(9*25=225) (9*3=27)27(9*27=243) 29(9*29=261)
    31(9*31=279) 33(9*33=297) 35(9*35=315) 37(9*37=333) 39(9*39=351)
    41(9*41=369) 43(9*43=387) (9*5=45) 45(9*45=405) 47(9*47=423) 49(9*49=441)
    51(9*51=459) 53(9*53=477) 55(9*55=495) 57(9*57=513) 59(9*59=531)
    61(9*61=549) (9*7=63)63(9*63=567) 65(9*65=585) 67(9*67=603) 69(9*69=621)
    71(9*71=639) 73(9*73=657) 75(9*75=675) 77(9*77=693) 79(9*79=711)
    (9*9=81)81(9*81=729) 83(9*83=747) 85(9*85=765) 87(9*87=783) 89(9*89=801)
    91(9*91=819) 93(9*93=837) 95(9*95=855) 97(9*97=873) (9*11=99)99(9*99=891)
    101(9*101=909) 103(9*103=927) 105(9*105=945) 107(9*107=963) 109(9*109=981)
    111(9*111=999) 113(9*113=1017) 115(9*115=1035) (9*13=117)117(9*117=1053) 119(9*119=1071)
    121(9*121=1089) 123(9*123=1107) 125(9*125=1125) 127(9*127=1143) 129(9*129=1161)
    131(9*131=1179) 133(9*133=1197) (9*15=135)135(9*135=1215) 137(9*137=1233) 139(9*139=1251)
    141(9*141=1269) 143(9*143=1287) 145(9*145=1305) 147(9*147=1323) 149(9*149=1341)

    ad A) bis D) 
    Kommentar zu den obigen vier Tabellen:

    Die Prim-Endziffer 1 entfaellt als Faktor. Wuerde sie als Faktor verwendet werden, betraefe sie zwar saemtlich Zahlen des Registers, ohne deren Zahlenwert zu veraendern, aber die Primzahlen waeren durch dieses “1 * 3”, “1 * 7”, “1 * 9”, “1 * 11”, “1 * 13” usw. Produkte und verloeren Ihren Status als Primzahlen.
    Die Zahlenreihen beginnen also mit der 3, gefolgt von der 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 und unbegrenzt so weiter.
    Die drei, bis jeweils 119 reichenden, Tabellen (die eigentlich eine einzige Tabelle ist, die Darstellung in drei Teilen wurde wegen der Uebersichtlichkeit gewaehlt) zeigen, wie nur allein schon die 3-er, 7er- und 9er-Zahlenreihen das Register mit Informationen fuer die Zahlen 3 bis 119 fuellen. Es gibt keine Zahl darin, ueber die keine ausreichenden Informationen ueber die hier zu klaerenden Fragen erhaelt.

     
     
    Schlussbemerkung: Als Nebeneffekt koennte sich bei entsprechend grossem Register das Faktorisieren von “grossen Zahlen” (d.h. von Produkten aus Prim-Faktoren) eruebrigen. (Der Algorithmus fuer dieses Faktorisieren, der CASTELL-FACT-ALGORITMUS, wurde bereits im Oktober 2019 von uns gefunden).

    Die klein-geschriebene Multiplikation rechts der Zahlen betrifft Informationen fuer spaetere Zahlen. Die klein-geschriebenen Multiplikation auf der linken Seite einer jeden
    nicht-Primzahl betrifft die Faktoren, die “von links kommen” und das vorliegende Produkt per Multiplikation erstellt haben.
    Diese Faktoren haben, falls sie prim sind, bei der vorliegenden Zahl eine “grosse Zahl” erstellt, die fuer die RSA-Kryptographie benoetigt werden kann, sie sind beim Faktorisieren aber auch gleichzeitig die gesuchten Primzahlen, die hier mitgeliefert werden.

     
    Tom Hermann Tietken
    MUDr. (Karls-Universitaet Prag) 
    Nikolaus Graf zu Castell-Castell
    Dipl. Vw. (Universitaet Hamburg)
    Prague Research Institute
    Zug (CH) und Prague (CR)
    mob. 00420 778 037 633
    fix line 00420 226 223 026

  4. #4 토토사이트웹
    https://www.totositeweb.pro/
    17. Juli 2020

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  5. #5 Gono
    23. September 2020

    @thilo
    Eine solche von dir angeführte Funktion AxB —> C existiert doch aber immer.
    Wähle c ungleich Null und betrachte die konstante Funktion (a,b) |—> c
    Da scheint also einiges an Voraussetzungen zu fehlen?

    Gruß,
    Gono

  6. #6 Thilo
    23. September 2020

    die Voraussetzung ist, dass man zu jedem Element aus A oder B ein Element aus der anderen Gruppe findet, so dass f(a,b)=0 nicht Null ist. Das bezeichnet man als nicht-ausgeartete Paarung.

  7. #7 Thilo
    23. September 2020

    Die Abbildung soll natürlich ein Homomorphismus sein. Ich war davon ausgegangen, das versteht sich von selbst (so wie in der Topologie Abbildungen immer stetig sind, ohne es extra zu erwähnen).

    Steht jetzt da.

  8. #8 Gono
    24. September 2020

    Danke Thilo.
    Es gibt hier tatsächlich auch Mitleser mit mathematischer Vorbildung, die nicht in jedem Gebiet schon vollumfänglich bewandert sind 😉

    Gruß.

  9. #9 Nikolaus Castell-Castell
    Prague
    21. November 2020

    Nikolaus Graf zu Castell-Castell
    Tom Tietken
    Prague Research Institute Varsavska 36 CZ – 12002 Prague
     
    UNITED STATES PATENT AND TRADEMARK OFFICE P.O.Box 1450 ALEXANDRIA, V.A. 22313-1450

    Provisional Application for patent acc. 35 USC par. 111(b) SMALL ENTITY

    01. 06. 2020

    The factoring of large integers by the novel Castell-Fact-Algorithm, 12th part,
    to crash the RSA codes.
    Following two of three ways to hack the RSA Code by the novel Tietken-Castell-Prime-Algorithm in order to definitely and correctly identifying and generating prime numbers of unlimited size in an indirect way.
     

    Abstract
    Our essays 1 to 11 describe the applicable Castell-Fact-Algorithm, which factorizes large integers, was ignored and rejected by economy and politics.
    Innovations concerning data protection and security seem not to be in great demand by neither the NSA, nor by Facebook & Co.
    In the following essay part 12, we introduce the
    Tietken-Castell-Prime-Algorithm, which is able to indirectly
    a) produce prime numbers
    b) identify prime numbers,
    c) and which is suitable for the factoring of large numbers (composed of prime numbers) after creating a comprehensive registry of numbers.
     

    Objective
    Following question would not appear, if for the factoring of large integers, large integers were given, which reliably emerged from the multiplication of two prime numbers.
    It is debatable, whether the given “large number” is a product of two prime factors or a prime number itself (which can not be factored). Maybe it is even only product which ends with the digits 1, 3, 7 or 9. Therefore, a reliable method for clarification is needed in order to determine what exactly the given large number represents.
    Taking a look into the many existing, non-reliable and ambiguously functioning methods of solving the issue, one would realize that a new approach without uncertain multiple trials and error rate (Fermat, Miller-Rabin, Chinese remainder theorem, Mersenne prime, etc.), as well as without Probability Theory, approximation, repeats, etc., is needed in order to obtain more than just a “most likely prime”.
    Even RSA (Ron Rivest, Shamir, Adleman) only utilizes “random numbers”, which do not generate exact prime numbers but only “probable prime numbers”.
    The idea of the novel “Tietken-Castell-prime-Algorithm” saves the user the aforementioned uncertainties and ambiguities.
    It delivers 100 % prime numbers, which are definite and in all magnitudes.
    It furthermore avoids the disadvantage, that big anterograde “skips” cause smaller prime numbers which are in between these skips to be overseen or omitted, which is the inconvenience of the RSA-multiplication of two identical prime numbers.
    Shortly, it creates a dearrangement or disarray in the assumption of which other prime numbers do in fact exist.
    If there would be total clearness and transparency, the RSA would not have multiply “probable prime numbers” with themselves for reasons of certainty.
     

    Personal preliminary remark concerning the “Tiekten-Castell-Prime-Algorithm”
    The hereby presented novel algorithm is not only able to identify prime numbers in an indirect fashion, but also to generate them in that same fashion.
    The solution suggested by the aforementioned novel procedure is simple and self-evident.
    To generate a prime number, large enough to fill a dozen of folders, may be an impressive display of the quantitative potentials of current computers , but has nothing to do with the ever-growing qualitative human thinking (comparison to Gimps and the 400 years old Mersenne prime, etc.), apart from initial thoughts of an algorithm for the relatively small prime numbers in the beginning.
    It is nothing but a currently still useless show with skyrocketing electricity bills and only a minimum of human in-house effort.
     

    Verbal explanation of the “Tiekten-Castell-Prime-Algorithm”
    The fundamental consideration of the “Tiekten-Castell-Prime-Algorithm” is the currently still established impossibility to rapidly detect and generate large prime numbers, through an indirect manner.
    a)
    If prime numbers are not simply and correctly producible, one can use so called Pendants, which emerge from the differential method and are ideally (as shown here) exactly calculable.
    These are the well-ordered, constant-remaining counting factors on one side and the two-step cardinally-growing counted factors of the also well-ordered and comprehensively growing non-prime numbers (or products in the close vicinity of the wanted prime numbers) on the other side.
    The prime numbers in this case are the „remainders”. They are numbers without factors!
    b)
    If prime numbers can be generated in this indirect fashion, then in a way that these prime numbers are identifiable accroding to their position.
    Due to simplicity and the fact that all steps and procedures stay constant, there is an aligned order of prime numbers built up by their respective values, which exhibits no possible gaps or mistakes; meaning every prime number is captured and made visible.
    Once put into motion, the Tietken-Castell-Prime-Algorithm is able to build up a constantly growing registry without any following input, which is ordered according to the scores of numbers and can be accessed at any time.
    Thereby, no human interaction or effort is needed – the procedure of operation is automatized.

     
    Numerical examples of the “Tiekten-Castell-Prime-Algorithm”
    The algorithm builds itself up only with the final digits 1, 3, (5), 7 and 9 per decade (every 10th).
    Number “5” is put in brackets, because it acts as an exception.
    It may (except as a single digit) never become a prime number, even with added decimal digits, due to the fact that numbers with the final digit “-5” are always divisible by 5.
    However, the Tietken-Castell-System counts the “5” as well, in order to keep a consistent increment and to avoid the necessity of a double-step every time the final digit “-5” comes up, in which the “5” will be skipped.
    The following graph shows how the Tietken-Castell-Registry grows in a constant-remaining fashion (score-wise). According to our premise of a constant-remaining decimal system, it could be continued indefinitely.
     
    a)
    In each of the indefinite amount of rows, only numbers with the final digits 1, 3, 5, 7 or 9 are being captured, because every prime number has to exhibit either 1, 3, 7 or 9 as a final digit (digit 5, as exception, is dropped).
    However not every number with these final digits is a prime number.
    So, in order to comprehensively capture all prime numbers without gaps, all numbers which exhibit one of the four prime-end-digits, have to be included into the registry as well. Among them also the prime numbers are to be found. These are identified by the fact that there are no existent factors for them.
     
    b)
    The rows within the Tiekten-Castell-Registry always look alike. Each row exhibits the final digits 1, 3, 5, 7 and 9.
    Every newly added row, receives an additional decade with 1, 3, (5), 7, 9 on the end.
    1 3 5 7 9
    11 13 15 17 19
    21 23 25 27 29
    31 33 35 37 39
    41 43 45 47 49
    51 53 55 57 59
    61 63 65 67 69
    71 73 75 77 79
    etc.
    or:
    1001 1003 1005 1007 1009
    1011 1013 1015 1017 1019
    1021 1023 1025 1027 1029
    etc.
    or:
    2381 2383 2385 2387 2389
    2391 2393 2395 2397 2399
    2401 2403 2405 2407 2409
    2411 2413 2415 2417 2419
    etc.
     
    c)
    The claim here is that there is no limitation of numbers towards the top!
    However, not an approximately 2-million-digits prime number is looked for, but preliminary “only” “large numbers” of 1000- to 2000 digits, which emerged through multiplication of two prime numbers.
    According to our estimation, this task (even with the consideration that prime numbers are getting rarer and rarer within the increasing numbers) could be executed easier and faster than going just by the vague procedure of finding prime numbers by chance, which are not even reliably identified or confirmed.
    In order to do the task correctly the “Tiekten-Castell-Prime-Algorithm” has to count up without gaps, constantly add, as well as keep the sustained connection to each previous factor.
    Furthermore it has to establish multiplications between two prime numbers and save the results as „large numbers” to recall them later with the respectively given factors!
     
    d)
    In order to only keep numbers with the final digits 1, 3, 7 or 9 in the registry, all numbers with the final digits 0, 2, 4, 6 or 8 have to be excluded from the registry.
    Final digit “5” is counted along in the registry, but plays no further role.
     
    e)
    Each number of the register functions and provides itself as a constant factor for the own respective row of following numbers (in distances of two times the respective number).
    Every time a prime number emerges due to the lack of potential factors, it is also multiplied by itself and starts a new unlimited row of numbers in the registry, from the point of the emerged product (a large number from two prime numbers).
    Prime numbers are numbers which occur without factors within the Tietken-Castell-Registry.
    However, if there is an involvement of factors (two or more) in the formation of the given number, it is impossible to be a prime number.
    Because the respective factors are past on the “left side”, the product is calculated there already.
    If this in the past calculated number shows up then again, it will already be known as the product together with its respective factors.
    This way, it can also be determined whether the given number is a “large number”, meaning a product of two prime numbers.
     
    f)
    Following, the mechanism of action of numbers within the Tietken-Castell-Algorithm is exemplified.
    Inevitably the origin starts with small numbers. Though, the principle of approach and utilization continues, as before indefinitely towards the top, because the laws of the decimal system remain the same for small and large numbers. Also the constant approach of the
    Tietken-Castell-Prime-Algorithm remains unchanged.
     
    g)
    1. Row, 1. Number: 3
    3 is (as all numbers of the registry) multiplied, makes 9 and begins the first row of numbers from here, which traverses through all, constantly increasing numbers in the registry.
    This number 3 remains as a counting constant and builds up new numbers; first with itself and then with the uneven numbers (5), 7, 9, 11, 13, (15), 17, 19, 21, 23, (25), 27, 29 31, 33,(35), 37, 39 etc., which sometimes may appear as normal products, but in other cases also happen to be products of two prime numbers.
    3 is a prime number, because it has no factors “from the left” in the registry.
    If 3 is multiplied by e.g. 11 or 13 (for which the same rules apply), the respectively emerged product of 33 or 39 acts as a “large number” suitable for encrypting.
    With the increasingly frequent rows of numbers, which run indefinitely through the entire register, there can be multiple assignments of numbers, in places where two rows of numbers overlap. This means that the respective number has multiple factors.
    Though, most importantly for the Tietken-Castell-Prime-Algorithm in this context, is to determine whether the number even has factors or not.
    If so, it can be elicited, whether these were prime-factors and if the product is suitable as a
    “large number” for Cryptography.
    If the number has no factors, it is (as previously mentioned) a prime number itself. In which case there can not be a multiple assignment.
     
    h)
    (1. Row, 2. Number: 5
    5 is a prime number, similar to number 3, because there are no possible factors that could lead to it as result.
    Its row of numbers starts from 5 * 5 = 25, but even with added decimal digits it will never be a prime number again, due the fact that it is always divisible by 5).
     
    i)
    1. Row, 3. Number: 7
    7 is as well a prime number, starting its unlimited march through the Tietken-Castell-Registry with 7 * 7 ( = 49) as a 7-row, then 7*9, 7*11, 7*13, (7*15), 7*17, 7*19 etc.
     
    j)
    1. Row, 4. Number: 9
    Number 9 acts as an interstage of the 3-row and therefore not a prime number.
    However, together with decimal digits, it builds an important prime-end-digit and often results in prime numbers itself (e.g. 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229 239, 269, 349, 359, 379, 389, up to infinity!)
    The 9-row, which will traverse the registry starts with 9 * 9 ( = 81).
    Together with number 9 as a constant factor and the other uneven factors which stay constant in all rows (besides 9, the 11, 13, 15, 17, 19 and so on, indefinitely), the first numbers of the 9-row a built-up.
    The fact that the single digit “9” is not a prime number, prevents it from potentially creating
    “large numbers” used for Cryptography, even though the counted second factors 11, 13, 17, 19, 23, 29 and 31 are prime numbers and would have been suitable for it.
    This initial situation though, changes its context with decimal digits. Already from the aforementioned 19, 29, 59, 79, 89, 109 etc. on, the prime-end-digit 9 is back in the race as a part of prime numbers.
     
    k)
    Résumé of the 1. Row:
    Already with these four mentioned four (exactement three) examples (3, (5), 7, 9 only, it is visible that the factors (given they exist) follow a regular order.
    On one side are numbers which always have the same final digits in the same order (1, 3, (5), 7, 9), while on the other side the same uneven numbers are constantly and cardinally counted-up in double steps.
     
    l)
    2. Row, 1. – 5. Number: 11-9
    The second row follows the same fashion of calculation as the first one (same as all indefinite, following numbers).
    (1)
    11 is multiplied by 11, 13, (15), 17, 19, 21 etc.
    After multiplication by itself, 11 * 11 = 121 ( a “large number”), it continues its row with 11 * 13,
    (11 * 15), 11 * 17, 11 * 19, 11 * 21 etc., up to infinity.
    For the purpose of encryption, it would not be necessary to multiply a prime number like 11 by itself, because the other prime numbers to form a “large number” with are known.
    (2)
    13 is multiplied by 13, (15), 17, 19, 21, 23 etc.
    After multiplication by itself, 13 * 13 = 169 ( a “large number”), it continues its row with (13 * 15), 13 * 17, 13 * 19, 13 * 21, 13 * 23 etc., up to infinity.
    For the purpose of encryption, it would not be necessary to multiply a prime number like 13 by itself, because the other prime numbers to form a “large number” with are known.
    (3)
    (15 is multiplied by 15, and after by 17, 19, 21, 23 etc., but could never create a “large number” for the RSA-Cryptography, due to the fact of only being a prime number as a single digit “5”).
    (4)
    17 is multiplied by 17 and 19, 21, 23, (25), 27, 29 etc.
    After multiplication by itself, 17 * 17 = 289 ( a “large number”), it continues its row with 17 * 19, 17 * 21, 17 * 23, (17 * 25), 17*27 etc., up to infinity.
    For the purpose of encryption, it would not be necessary to multiply a prime number like 17 by itself, because the other prime numbers to form a “large number” with are known.
    (5)
    19 is multiplied by 19 and after by 21, 23, (25), 27, 29, 31, 33 etc.
    After multiplication by itself, 19 * 19 = 361 ( a “large number”), it continues its row with 19 * 21, 19 * 23, (19 * 25), 19 * 27, 19 * 29 etc., up to infinity.
    For the purpose of encryption, it would not be necessary to multiply a prime number like 19 by itself, because the other prime numbers to form a “large number” with are known.
    (6)
    21 is multiplied by 21, then 23, (25), 27, 29, 31, 33, (35), 37 etc.
    After multiplication by itself, 21 * 21 = 441 ( a “large number”), it continues its row with 21 * 23, (21 * 25), 21 * 27, 21 * 29, 21 * 31 etc., up to infinity.
     
    m)
    Résumé of the first to the indefinite “last” Row:
    The above shown factors prove the order, predictability and correctness of this Tietken-Castell-Prime-Algorithm.
    None of the previously mentioned unreliable and complicated methods were utilized in this algorithm for determenitation, whether a more or less randomly found- or unreliably calculated number is in fact a prime number.
    If in one row, here for example the third row, where 21 and 27 can be seen, we know from the first row that 21 belongs to the 3-Row (from 3 * 7 or written in form of addition to 3 + 6 + 6+ 6), as well as that 27 belongs to the 3-Row (from 3 * 9 or in form of addition 9 + 18).
    However, no factors lead to the numbers 23 and 29 of the same (here third) row.
     
    n)
    The Distances
    It might be a relief for the algorithm, to only having the necessity to perform addition.
    It is observed that the distances between all numbers in a row stay constant, due to the first multiplication by itself (meaning a multiplication by 2). It always builds exactly twice the first counting factor.
    Insofar, the algorithm could (after the initial multiplication) build the following numbers in a row also via addition of the ever constant distances.
    (1) 3 to 9 builds the distance 6; therefore the following numbers after this 9 are 15 (=9+6), 21 (=15+6), 27 (21+6), 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75 and so on.
    ((2) 5 enlarges by 10.-steps (from 2 * 5)).
    (3) The same principle accounts for number 7, where distances between the numbers in that row will be 2 * 7 = 14 (49, 63, 77, 91, 105, 119, and so on).

     
    The beginning of the 3-Row:
     
    In the following graph, the factors of all numbers are to be found on the right hand side, which are hinting towards the later product. The algorithm saves and stores these.
    On the left hand side of those later products, their respective factors are noted once more in order to demonstrate the connection between them two.
    As now known, prime numbers do not have such hints towards the factors on their left hand side.
    Nevertheless, the absence of these left hand standing factors next to the numbers in this partial list (which only shows the progression of 3; so it is incomplete), does not give information about which kind of number we are looking at (prime number, “large number” or simple product).
    Again, there are several multiple assignments of single numbers in the beginning of the registry, which means that rows are overlapping.
    For example: crossing of the 3-Row with 3*21 and the 7-Row with 7*9 in the number “63”.
    In the second case (7 * 9), the 63 would be suitable as a “large number”.
    (It has to be verified if such overlaps of multiple pairs of factors in one number would not increase the cryptographic certainty of a “large number”, due to the fact that the factoring here is less obvious)

     The 12th installment of this work introduced the Tietken-Castell-Prime-Algorithm. It estimates whether a given number is a prime number, an uneven number with the endings 1,3,7 or 9 (no number with the endings 0,2,4,5,6,8) or a so called “large integer“, which results from multiplying two prime numbers. It does so via the position that the numbers assume in a regular, two-stepped (only within the steps from 3 to 7 there is a 4-step in every 10th-row; skipping the number 5) and continuous row of numbers.
    This continuation of this 12th part displays the aforementioned procedure once more shortly in a corrected form, due to the tendency of error when breaking the “registry“ down into partial registries for each respective row of numbers (how it was proceeded in the first part of the 12th part of this work).

    Thus, in this second part of the 12th part there is only one registry for all possible rows of numbers introduced. Repeats, gaps and errors are avoided this way. Furthermore, numbers ending with “-5“, are consequently excluded from the registry.

    This presentation method primarily avoids confusion in the order of the factors. Following, an example: In the presentation of the 3-row, the product 21 does not emerge from 7*3, but from 3*7, because 3 acts as the counting factor in the 3-row, whereas 7 is only the counted factor. In other words: In the row of numbers, 7 appears later than 3 and does not “communicate“ retrograde with it.The initial “partners of communication“ of number 7 are the 7 itself, followed by 9, 11, 13, 17, 21, etc.
    The 3-row therefore shows as: 3, 9 (3*3), 21 (3*7) , 27 (3*9), 33 (3*11), 39 (3*13) etc. The 7-row as: 7, 49 (7*7), 63 (7*9), 77 (7*11), 91 (7*13), 119 (7*17) etc.

    This taken into account, the shown blocks in the 12th (previous) part of this work shouldn’t beginn unified with 1 or 3, but should have started with 3 in the first block, 7 in the second one, and 9 in the third block. The 5-block shouldn’t have been mentioned at all. Later blocks should have started with 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 41 etc.
    Multiple assignments, meaning numbers hinting towards multiple factors on the „left side“, are mentioned here in the registry. Although a single pair of factors is sufficient to clarify that the given number is in fact not a prime one, in order to determine that this number is a so called “large integer“, it has to be recognized whether any of the underlying factors were prime numbers. The algorithm saves the as primes numbers identified numbers, so that the aforementioned question is answered at any time.
    Their status of being prime or not of factors used in this registry is not noted, though this information will be necessary for the larger factors.

    Table (called Tietken-Castell-Register):
    Here the initial 280 numbers with respect of the 3-row, 7-row, 9-row, 11-row, 13-row and 17-row:

    1 PRIME 3 (3*3=9) PRIME 7 (7*7=49) (3*3=9) 9 (9*9=81)
    PRIME 11 (11*11=121) PRIME 13 (13*13=169) PRIME 17 (17*17=289) PRIME 19 (19*19=361)
    (3*7=21) 21 (21*21=441) PRIME 23 (23*23=529) (3*9=27) 27 (27*27=729) PRIME 29 (29*29=841)
    PRIME 31 (31*31=961) (3*11=33) 33 (33*33=1089) PRIME 37 (37*37=1369) (3*13=39) 39 (39*39=1521)
    PRIME 41 (41*41=1681) PRIME 43 (43*43=1849) PRIME 47 (47*47=2209) (7*7=49) 49 (49*49=2401)
    (3*17=51) 51 (51*51=2601) PRIME 53 (53*53=2809) (3*19=57) 57 (57*57=3249) PRIME 59 (59*59=3481)
    PRIME 61 (61*61=3721) (3*21=63 und 7*9=63) 63 (63*63=3969) PRIME 67 (67*67=4489) (3*23=69) 69 (69*69=4761)
    PRIME 71 (71*71=5041) PRIME 73 (73*73=5329) (7*11=77) 77 (77*77=5929) PRIME 79 (79*79=6241)
    (3*27=81 und 9*9=81) 81 (81*81=6561) PRIME 83 (83*83=6889) (3*29=87) 87 (87*87=7569) PRIME 89 (89*89=7921)
    (7*13=91) 91 (91*91=8281) (3*31=93) 93 (93*93=8649) PRIME 97(97*97=9409) (3*33=99 und 9*11=99) 99 (99*99=9801)
    PRIME 101 (101*101=10.201) PRIME 103 (103*103=10609) PRIME 107 (107*107=11449) PRIME 109 (109*109=11881)
    (3*37=111) 111 (111*111=12321) PRIME 113 (113*113=12769) (3*39=117 und 9*13=117) 117 (117*117=13689) (7*17=119) 119 (119*119=14161)
    (11*11=121) 121 (121*121=14641) (3*41=123) 123 (123*123=15129) PRIME 127 (127*127=16129) (3*43=129) 129 (129*129=16641)
    PRIME 131 (131*131=17161) (7*19=133) 133 (133*133=17689) PRIME 137 (137*137=18769) PRIME 139 (139*139=19321)
    (3*47=141) 141 (141*141=19881) (11*13=143) 143 (143*143=20449) (3*49=147 und 7*21=147) 147 (147*147=21609) PRIME 149 (149*149=22201)
    PRIME 151 (151*151=22801) (3*51=153 und 9*17=153) 153 (153*153=23409) PRIME 157 (157*157=24649) (3*53=159) 159 (159*159=25281)
    (7*23=161) 161 (161*161=25921) PRIME 163 (163*163=26569) PRIME 167 (167*167=27889) (13*13=169) 169 (169*169=28561)
    (3*57= 171 und 9*19=171) 171 (171*171=29241) PRIME 173 (173*173=29929) (3*59=177) 177 (177*177=31329) PRIME 179 (179*179=32041)
    PRIME 181 (181*181=32761) (3*61=183) 183 (183*183=33489) (11*17=187) 187 (187*187=34969) (3*63=189 und 7*27=189 und 9*21=189) 189 (189*189=35721)
    PRIME 191 (191*191=36481) PRIME 193 (193*193=37249) PRIME 197 (197*197=38809) PRIME 199 (199*199=39601)
    (3*67=201) 201 (201*201=40401) (7*29=203) 203 (203*203=41209) (3*69=207 und 9*23=207) 207 (207*207=42849) (11*19=209) 209 (209*209=43681)
    PRIME 211 (211*211=44521) (3*71=213) 213 (213*213=45369) (7*31=217) 217 (3*73=219) 219 (219*219=47961)
    (13*17=221) 221 (221*221=48841) PRIME 223 (223*223=49729) PRIME 227 (227*227=51529) PRIME 229 (229*229=52441)
    (3*77=231 und 7*33=231 und 11*21=231) 231 (231*231=53361) PRIME 233 (233*233=54289) (3*79=237) 237 (237*237=56169) PRIME 239 (239*239=57121)
    PRIME 241 (241*241=58081) (3*81=243 und 9*27=243) 243 (243*243=59049) (13*19=247) 247 (247*247=61009) (3*83=249) 249 (249*249=62001)
    PRIME 251 (251*251=63001) (11*23=253) 253 (253*253=64009) PRIME 257 (257*257=66049) (7*37=259) 259 (259*259=67081)
    (3*87=261 und 9*29=261) 261 (261*261=68121) PRIME 263 (263*263=69169) (3*89=267) 267 (267*267=71289) PRIME 269 (269*269=72361)
    PRIME 271 (271*271=73441) (3*91=273 und 7*39=273) 273 (273*273=74529) PRIME 277 (277*277=76729) (3*93=279 und 9*31=279) 279 (279*279=77841)
    PRIME 281 (281*281=78961) PRIME 283 (283*283=80089) (7*41=287) 287 (287*287=82369) (17*17=289) 289 (289*289=83521)
    (3*97=291) 291 (291*291=84681) PRIME 293 (293*293=85849)

    ……and further up to infinity!

    A comment concerning the table:
    What is written on the left hand side of the numbers in the registry is of importance.
    These are the two or more factors in the case of a non-prime number, which have “produced“ the respectively investigated number.
    The multiplications written on the right hand side display the future products, which emerge when newly appearing number is multiplied by itself.
    Due to the fact that every new number which founds its own new row of numbers, has to start their multiplications on the right hand side with the smallest possible number, which is, in fact, itself.

    B)
    Further possibilities of prime number detection:

    At the end of this work we additionally introduce how The Tietken-Castell-Prime-Algorithm detects prime numbers also in a direct way, but not only by their appearance and location in the registry.
    „Direct“ means, that therefore no registry (as the one above) is necessary. Every single given number can be investigated with use of the algorithms techniques, whether it is prime number or something different.
    When the square root of a number with 1,3,7 or 9 does not deliver a smooth result (but a number with decimal digits), then it is clear that: (a) This number is not made up of two similar factors and (b) a prime number could be evident. Because prime numbers do not contain square roots.
    These uneven numbers with the end-digits 1,3,7 or 9 could c) also be a product of two different prime numbers.
    In order to clarify, whether this number is a prime one or a product of different factors, this number has to be divided by each number of the always recurring and constantly equal row of numbers, meaning by 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21 etc.
    The amount of divisions and and used divisors is determined by the location of the dividend within the Tietken-Castell Registry.

    As an example, the number 221 is located in the 22. row at the first place, following 88 calculations are necessary (22 rows x 4 numbers). Subtracted the number 1 in the first row, as well as the 3, 7 and 9 in the 22nd row, we are left with 84 divisions for the number 221, which decide from what factors the (non-prime!) 221 is made up.
    After finding these factors, it is additionally detectable if these are prime, therefore if 221 is a so called “large integer“.

    However, according to probability, these 84 calculations will shrink down to on average 42 calculations in applied praxis. In the concrete case of the here randomly taken 221, only 5 actual divisions (by 3, 7, 9, 11, 13) are necessary, in order to obtain the two factors 13 and 17 via the divisor 13.
    The latter are two unequal factors, which as well are prime, thus the 221 is in fact a large integer, which can be used for the RSA-Encryption.
    If there is any dought, if a larger prime number is really a prime number, the above mentioned procedure can be analogously repeated.
    With the detection (registry or via division) of these two prime factors 13 and 17, the necessity of a factorization of 221 and every other investigated number is omitted. Practically, both shown procedures are able to omit a factorization of “large integers“ (given an adequately large registry or amount of divisions).

    In order to shorten the procedure of multiple divisions, an additional service of the Tietken-Castell-Prime-Algorithm is presented: The algorithm is able to identify which factors took part in a multiplication for every number, no matter how many digits are present, by looking at the ending digits.
    So (if factors that end with a 1 are excluded), a 1 for the supposed product hints towards possible factors with the last digits 3 and 7 or 9 and 9,
    a 3 hints towards factors with the last digits 7 and 9,
    a 7 hints towards factors with the last digits 3 and
    a 9 towards 3 and 3 or 7 and 7.
    With this additional step the maximally possible amount of divisions for every number could be, depending on the respective ending digit, drastically reduced, at least splited into thirds.
    The aforementioned paragraph described how the interpretation of numbers is possible without the assistance of the the Tietken-Castell-Registry, provided that the procedure of the Tietken-Castell-Prime-Algorithm is consequently applied.

    C)
    The direct solution without a registry and its methods via the novel, not yet introduced Castell-Fact-Algorithm:

    Without the preparatory work of having created a large register yourself or being able to access another register, or if the large number to be broken down has too many digits, the Castell-Fact-Algorithm has to be utilized, which (without brute force) is able to quickly and inexpensively break down unlimited numbers into their prime numbers.

    Nikolaus Graf zu Castell-Castell
    Dipl. Vw. (University Hamburg)
      

    Prague Research Institute
    Zug (CH) und Prague (CR)
    mob. 00420 778 037 633
    fix line 00420 226 223 026

    https://zenodo.org/record/4080970#.X4XAoHVCSws

    https://zenodo.org/record/4076800#.X4XBAXVCSws

  10. #10 Emerson Nascimento
    15. Februar 2021

    I want to start a personal blog.. an online journal. I have no idea which blog website to start it with.. . anything I should know about having a blog and who to have one with?.

    https://bookeworm94.tumblr.com/