Im klassischen Fall ist
, denn jede 1-dimensionale Darstellung ist von der Form
für eine ganze Zahl n.
Allgemein ist das Dual einer kompakten Gruppe eine diskrete Gruppe und umgekehrt.
Pontrjagin bewies den Dualitätssatz, dass das Dual der dualen Gruppe immer G ist.
Beispielsweise ist im Fall der klassischen Fourier–Analyse nicht nur Z die duale Gruppe zu S1, sondern auch S1 die duale Gruppe zu Z.
Man erhält eine analoge Transformationsformel, wie man sie für die Koeffizienten trigonometrischer Reihen kennt, und kann dann die gesamte Fourier-Theorie in diesen Kontext lokalkompakter abelscher Gruppen zu verallgemeinern versuchen.
In der klassischen Fourier-Analyse kann man auf vielerlei Weise zwischen G und wechseln. Zum Beispiel entspricht Konvolution von Funktionen auf G der Multiplikation der transformierten Funktionen auf
. Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten entsprechen der Multiplikation mit den entsprechenden Polynomen. Die Fourier-Transformierte einer L2-Funktion ist eine L2-Funktion und dies gibt einen Isomorphismus
(Satz von Planchereel). Glattheit von f entspricht einer gewissen Abfallbedingung der Werte der transformierten Funktion (Satz von Paley–Wiener). Pontrjagins Ansatz ermöglichte, nach Verallgemeinerungen dieser Sätze zu suchen.
Als Anwendung seiner Methoden bewies Pontrjagin, dass jede zusammenhängende, das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllende, lokalkompakte Gruppe das Produkt einer kompakten Gruppe mit einem Rn ist. Weiter konnte er einen Spezialfall eines der Hilbertschen Probleme lösen. Im fünften der auf dem Pariser Weltkongreß 1900 vorgeschlagenen 23 Probleme ging es darum, ob jede lokal euklidische topologische Gruppe eine Mannigfaltigkeit ist. John von Neumann hatte dies – ebenfalls unter Benutzung invarianter Maße – einige Jahre zuvor für kompakte Gruppen bewiesen und Pontrjagin gelang jetzt der Beweis für abelsche Gruppen.
Pontrjagin hatte in seinen Arbeiten noch voraussetzen müssen, dass die Gruppen das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und entweder diskret oder kompakt sind. Die Verallgemeinerung auf beliebige lokalkompakte Gruppen gelang wenig später Egbert van Kampen. Die Dualitätstheorie wurde dann noch von André Weil weiterentwickelt und erhielt eine nichtkommutative Verallgemeinerung in den Arbeiten von Tannaka und Krein über die Rekonstruierbarkeit von Gruppen aus ihrem Charakterring.
Bild: https://de.sodiummedia.com/3907061-lev-semenovich-pontryagin-soviet-mathematician-biography-scientific-career
Kommentare (17)