Theorema Magnum MCMXXXIX: der Satz von Teichmüller

Bernhard Riemann hat die später nach ihm benannten Riemannschen Flächen 1851 in seiner Dissertation als natürliche Definitionsbereiche mehrwertiger holomorpher Funktionen eingeführt. Er veranschaulichte sie als verzweigte Überlagerungen über der projektiven Gerade CP¹. In seiner Arbeit über abelsche Funktionen 1857 fragte er nach der birationalen Klassifikation komplexer Kurven – das ist äquivalent zur Klassifikation Riemannscher Flächen – und er zählte die Moduli Riemannscher Flächen mittels ihrer Verzweigungspunkte: für (geschlossene, orientierbare) Flächen vom Geschlecht g≥2 sollte es 3g-3 komplexe Moduli geben. Man findet in seiner Arbeit aber keine präzise Definition der Moduli.
Auch Felix Klein, der später Riemanns Werk popularisierte, hatte keine formale Definition der Moduli. Henri Poincaré verwandte Riemanns Behauptung in seinen Arbeiten zur Uniformisierung, wo er (in Konkurrenz zu Felix Klein) beweisen wollte, dass die injektive Abbildung vom Raum der Fuchsschen Gruppen in den Modulraum Riemannscher Flächen – welche der Gruppe Γ die Fläche Γ\H² zuordnet – eine Bijektion ist. Die Dimension des Raums der Fuchsschen Gruppen läßt sich berechnen als Anzahl der Parameter der zugehörigen Fundamentalpolygone. Riemanns Behauptung über die Dimension des Modulraums verwandte Poincaré für seine “Kontinuitätsmethode”, mit der er die gewünschte Bijektivität beweisen wollte.

Oswald Teichmüller promovierte 1935 bei Hasse über ein Thema aus der Funktionalanalysis und schrieb danach einige algebraische Arbeiten über wohl von Hasse vorgegebene Themen. Nachdem er 1936 in Göttingen Vorlesungen Nevanlinnas über Werteverteilungstheorie gehört hatte, wechselte er 1937 nach Berlin zur dort von Ludwig Bieberbach vertretenen Funktionentheorie. Seine Habilitationsschrift “Untersuchungen über konforme und quasikonforme Abbildungen” war stark beeinflußt von Nevanlinna und von Ahlfors’ Arbeiten zur Werteverteilungstheorie für Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen. Er wurde schnell ein Experte in geometrischer Funktionentheorie. Letztendlich stand er dort in der Göttinger Tradition, holomorphe Abbildungen nicht, wie es der Berliner Tradition entsprach, analytisch als Potenzreihen zu untersuchen, sondern sie geometrisch zu interpretieren: zumindest lokal sind die biholomorphen Abbildungen – d.h. die holomorphen Abbildungen mit holomorpher Umkehrabbildung – genau die konformen – d.h. winkelerhaltenden – Abbildungen. Als Satz von Teichmüller bezeichnet man sein Resultat über die Existenz und Eindeutigkeit extremster quasikonformer Abbildungen, mit dessen Hilfe er dann die Dimension des Modulraums bestimmen konnte.

Für Riemanns Modulraum werden komplexe Strukturen auf einer Fläche identifiziert, wenn sie durch eine Selbstabbildung der Fläche auseinander hervorgehen. Dieser Modulraum hat eine nichttriviale Topologie und lokale Orbifaltigkeits-Singularitäten. Teichmüllers Ansatz war stattdessen, zunächst nur diejenigen Strukturen zu identifizieren, die durch eine zur Identität homotope Abbildung auseinander hervorgehen, und diesen „Teichmüller-Raum“ mittels quasikonformer Abbildungen zu parametrisieren.
Der Modulraum ergibt sich als Quotient des Teichmüller-Raums modulo der Wirkung der Abbildugsklassengruppe, der Teichmüller-Raum ist die universelle Überlagerung des Modulraums. Beispielsweise ist der Modulraum des Torus die durch die j-Funktion parametrisierte Modulkurve SL(2,Z)/H², während der Teichmüller-Raum des Torus einfach die hyperbolische Ebene H² ist.

Weil biholomorphe Abbildungen konform sind, entsprechen komplexe Strukturen auf einer Fläche den konformen Strukturen – zwei Flächen definieren genau dann dieselbe komplexe Struktur, wenn es eine konforme Abbildung zwischen ihnen gibt.
Andererseits gibt es zwischen Riemannschen Flächen desselben Geschlechts immer eine quasi-konforme Abbildung. Das verwendete Teichmüller für eine formale Definition des Teichmüller-Raums Teich(S) einer fixierten Riemannsche Fläche S: Teich(S) besteht aus allen Paaren (X,f), wobei X eine Riemannsche Fläche und f:S–>X ein quasikonformer Homöomorphismus ist. Er setzt (X,f)=(X,g), falls f und g homotop sind. Punkte im Teichmüller-Raum sind also Äquivalenzklassen quasikonformer Abbildungen.

Es gibt verschiedene Definitionen für quasikonforme Abbildungen. Die gebräuchlichste ist, daß eine Abbildung K-quasikonform (für eine Konstante K>1) heißt, wenn das Maximum des sogenannten Dilatationsquotienten höchstens K ist. (Für differenzierbare Abbildungen kann man den Dilatationsquotienten als definieren. In der Teichmüller-Theorie betrachtet man aber auch Homöomorphismen, die nicht differenzierbar sein müssen.) Anschaulicher ist die Definition, daß die Abbildung quasikonform ist, wenn sie (infinitesimal) alle Kreise in Ellipsen mit beschränkter Exzentrität abbildet.
Quasikonforme Abbildungen wurden zuerst von Grötzsch definiert, dann von Ahlfors bei der Lösung analytischer Probleme angewandt. Teichmüller interessierte sich für quasikonforme Abbildungen aber nicht als eine Verallgemeinerung konformer Abbildungen, sondern als Hilfsmittel zur Untersuchung konformer Strukturen. Seine Idee war es, die Dilatation quasikonformer Abbildungen zur Definition eines ‘Abstandes’ zwischen Riemannschen Flächen zu benutzen: wenn man zwei Riemannsche Flächen F₁,F₂ hat, dann gibt es – was Teichmüller zunächst bewies – quasikonforme Abbildungen zwischen ihnen und Teichmüller definierte den Abstand d(F₁,F₂)=inf log(K)/2, wobei K die maximale Dilatation einer quasikonformen Abbildung bezeichnet und das Infimum über alle quasikonformen Abbildungen zwischen F₁ und F₂ genommen wird. (Wenn es eine konforme Abbildung gibt, also eine Abbildung mit K=1, dann ist d=0, die Flächen sind gleich.) Dieser Abstand definiert die Teichmüller-Metrik auf dem Teichmüller-Raum, die eine Finsler-Metrik ist und die Teichmüller dann benutzte, um letztlich zu beweisen, dass der Teichmüller-Raum zur 6g-6-dimensionalen Kugel homöomorph ist.