Eigentlich hatte auch die von Poincaré (und Klein) in ihren Arbeiten zu automorphen Funktionen benutzte Kontinuitätsmethode schon vorausgesetzt, dass man die Topologie des Modulraums kennt. Die für ihre Beweise benötigten Stetigkeitsargumente bekam Teichmüller jetzt aus Abschätzungen für die Verzerrung der Länge von Kurven unter quasikonformen Abbildungen. Für die meisten Anwendungen in der komplexen Geometrie war seine Beschreibung des Modulraums besser geeignet als die aus der hyperbolischen Geometrie kommenden Ansätze. Besonders nützlich war seine Beschreibung des Tangentialraums an den Modulraum als Raum der holomorphen quadratischen Differentiale.
Teichmüllers Werk erschien zum großen Teil in der Zeitschrift „Deutsche Mathematik“, es wurde erst ab den 50er Jahren durch die Arbeiten von Ahlfors und Bers populär. Seine Ergebnisse zum Teichmüller-Raum veröffentlichte er 1939 in einer fast 200 Seiten langen Arbeit Extremfall quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale“ in den Abhandlungen der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Der Stil der Arbeit war äußerst unorthodox. Für den Leser war oft nicht zu erkennen, was ein heuristisches Argument und was ein Beweis war. Er selbst wußte das aber immer genau und sah seine Arbeit wohl eher als ein Forschungsprogramm, zu dessen Verwirklichung es durch den Krieg dann aber nicht mehr kam. (Einen Beweis seines Existenzsatzes veröffentlichte er immerhin noch 1943.) Vollständige Beweise wurden erst viel später von Ahlfors und Bers ausgearbeitet.
Bild: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Teichmuller.jpeg
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