Theorema Magnum MCMXL: die Riemann-Vermutung für Funktionenkörper

Die fünf Monate im Gefängnis wurden die produktivste Zeit seines Lebens und führten zu der 1941 in Proc. Natl. Acad. Sci. veröffentlichten Beweisskizze „On the Riemann hypothesis in function-fields“.
Um den von Hasse für Funktionenkörper elliptischer Kurven bewiesenen Satz nun für beliebige Funktionenkörper über endlichen Basiskörpern zu beweisen, braucht man eine algebraische Theorie der Funktionenkörper. Er mußte also die algebraische Geometrie der Kurven in Charakteristik 0 auf Charakteristik p übertragen. Insbesondere benötigt man eine Theorie der Jacobi-Varietät Jac(C), d.h. des Modulraums der Divisoren vom Grad 0, einer Kurve C. Deurings Theorie der Korrespondenzen konstruierte den Endomorphismenring von Jac(C), verallgemeinerte also das von Hasse für elliptische Kurven gemachte. (Hasse selbst hatte gemeint, dass dies der richtige Ansatz auch für Kurven höheren Geschlechts sein sollte.) Die bisher in der Korrespondenzentheorie – also der Theorie der Kurven im Produkt zweier Kurven – gemachten Ansätze waren nicht frei von analytischen Betrachtungen und galten nur in Charakteristik 0. Weil hatte sich in seinem Brief über Deurings Arbeit mokiert, die nur Severis (algebraische) Resultate wiederentdecke. In einer Fußnote seiner Arbeit erwähnte er nun, dass man für seinen Beweis die Korrespondenzentheorie von den komplexen Zahlen auf beliebige Körper umschreiben müsse. Das würde ihn dann aber die nächsten fünf Jahre beschäftigen, weil er dafür zunächst auch über den komplexen Zahlen die von den italienischen Geometern eher intuitiv entwickelte algebraische Geometrie und insbesondere die Schnittheorie auf eine formale Grundlage stellen mußte.

Seine Idee für den Beweis der Ungleichung war, die Kurve über F_q als Fixpunktmenge der durch “Potenzieren mit q” erhaltenen Selbstabbildung Frob_q der entsprechenden Kurve über dem algebraischen Abschluß von F_q zu betrachten. Die Anzahl der Fixpunkte von Frob_q, also die Schnittzahl des Graphen mit der Diagonale, sollte man als bekommen (und daraus die gewünschte Abschätzung herleiten). Über den komplexen Zahlen entspricht diese Formel der schon von Hurwitz gefundenen Formel für die Anzahl der Koinzidenzpunkte, die man in homologischer Sprache als formuliert und die für X=Graph(f) den 2-dimensionalen Fall der Lefschetzschen Fixpunktformel gibt.

Hierfür benötigte er eine Verallgemeinerung von Severis algebraischer Theorie der Korrespondenzen, aber nicht mehr das zunächst von ihm entwickelte Analogon der klassischen „transzendenten“ Theorie für Kurven über endlichen Körpern. Mit dieser hatte er zuvor einen komplizierteren Ansatz gefunden, der verwendete, dass die Jacobi-Varietät Jac(C) ein 2g-dimensionaler Torus ist und dass eine Korrespondenz X einen Automorphismus von Jac(C) induziert, dessen Spur man als Spur(X) bezeichnet. Auf den Graphen dieses Endomorphismus wandte er dann Schnittheorie an um das folgende „Hauptlemma“ zu bekommen: wenn m₁=g das Geschlecht der Kurve, X eine (m₁,m₂)-Korrespondenz und X’ die durch Vertauschung der Faktoren entstehende (m₂,m₁)-Korrespondenz, dann ist 2m₂=Spur(XX’). Daraus erhält er, dass Spur(XX’) eine rationale Zahl ist und dass man die Anzahl der Koinzidenzpunkte berechnen kann als X.Δ=m₁+m₂-Spur(X). Anwendung auf X=Graph(Frob_q) liefert dann die gewünschten Formeln.

Beide Beweise benötigten die Schnittheorie (der einfachere auf dem Produkt CxC, der ursprüngliche auf Jac(C)), die Weil dann in den folgenden Jahren ausarbeitete.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:André_Weil.jpg