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Bizarre Koinzidenzen der Fibonacci-Folge

Von / 14. September 2020 / 7 Kommentare
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Der folgende Artikel ist ein Gastbeitrag von Helmut Zeisel.

Im Logbuch Mathematik, Mitteilungen der DMV 2020/1, S.49 (Bild unten, drittletzter Abschnitt “… et quelle coincidence”, oder Link für Abonnenten) werfen Sie die Frage auf, ob
für die Glieder der Fibonacci-Folge F_0=0, F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}

die Gleichung \frac{1}{F_{11}} = \Sigma_{k=1}^\infty \frac{F_k}{10^{k+1}}

“nur eine Koinzidenz” ist. Ich weiß nicht, ob Sie dazu schon Antworten erhalten haben, ich habe die Summe jedenfalls ein wenig verallgemeinert:

Wenn a_n = \Sigma_{i=1}^r c_r a_{n-r} eine beliebige lineare Rekursion der Ordnung r mit den Startwerten a_1=1, a_0=...a_{2-r}=0 ist,

und

s(x) = \Sigma_{k=1}^\infty a_k/x^{k+r-1}

absolut konvergiert (was für hinreichend große x der Fall ist), dann gilt für die Summe

s(x) = \frac{1}{p(x)},

wobei p(x) das charakteristische Polynom

p(x) = x^r - \Sigma_{j=1}^r c_j x^{r-j}

der linearen Rekursion ist.

Die Frage nach Identitäten wie der im Logbuch angegebenen entspricht dann also der Frage, ob es Folgenglieder a_n mit

a_n = p(m)

für irgendwelche ganzzahligen m gibt (reelle m findet man natürlich leicht, die sind aber weniger interessant).

Für die Fibonacci-Folge findet man da außer F_{11}=p(10) noch ein paar andere Lösungen:

F_1 = 1 = p(2) = p(-1),\\ \\ F_5 = 5 = p(3) = p(-2),\\ \\ F_{11} = 89 = p(10) = p(-9)

(Die Lösungen sind paarweise, weil p(x) quadratisch ist; vermutlich gibt’s aber nur endlich viele Lösungen).

Von daher würde ich sagen, dass das alles “Zufallstreffer” sind, die man leicht finden kann, wenn man lange genug systematisch danach sucht; aber ein tieferer Zusammenhang ist mir nicht aufgefallen. In diesem Sinne würde ich sagen, dass es wirklich nur eine Koinzidenz ist. Wie sehen Sie (die Leser) das?

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Kommentare (7)

  1. #1 Quanteder
    15. September 2020

    „Wie sehen Sie (die Leser „(… Einzahl und Mehrzahl in Einem :)“) das?“

    Im „Logbuch Mathematik“ geht „Dr. Thilo“ (… eine in mir erlebte Realität mit Namen „hPantasie“ schlägt vor, Thilo mit Dr. Thilo zu betiteln) der Frage nach (… bemerke: Verwendung von Einzahl): „Wohnt der Realität eine mathematische Natur inne (… !!! ?) oder existiert die Mathematik nur in unseren Köpfen? (… !!! ?)“

    Meine innere Realität, nennen Wir sie einfach H. Panta-Sie, bemerkt: EINE Frage teilt sich in eine Frage oder (… und) eine Frage.
    Oder auch: 1 FRAGE = 1/2 frage + 1/2 frage
    Ist 1/2 frage = 1 ? Wenn ja, dann sollte 1 FRAGE = 1+1 sein. In der Mathematik ist das eine Falsche Aussage, in der Physik treffen Wir eine solche Aussage bei der Quantenverschränkung (… nur müsste eine 1 in [1+1] auf dem Kopf stehen, was mir mein Umgang mit der Tastatur hier nicht erlaubt 🙂 )
    Aber: das Nachfragen von Realität innerhalb einer Realität (… in der 1. 1/2 frage) steht quasi Kopf zur 2. 1/2 frage (… einer NICHT-Realität, nur existent in unseren Köpfen (… als ob unsere Köpfe nicht zugehörig einer Realität wären 🙂 ))

    Also: WEnn Wir unsere Köpfe zu Realität (… und das tut Wissenschaft ja) zählen, dann existiert Mathematik als NICHT-Realität in unserer Realität. Somit ziehen wir aus der 2. 1/2 frage einen Schluss und erhalten eine Bestätigung für Realität in der Realität (1. 1/2 frage).
    Beachte: Eine 1 FRAGE enthält immer die gesuchte Antwort in ihrer Fragestellung. Die Physiker kennen diesen Zustand als Katzen-Zustand (… Quantenzustand).

    H. Panta-Sie lässt fragen, welche 1 von [1]&[1] auf dem Kopf steht?

    🙂 „Wie sehen Sie (die Leser „(… Einzahl und Mehrzahl in Einem :)“) das?“

  2. #2 Fluffy
    15. September 2020

    Irgendwas ist mir beim Kommentieren von #1 schiefgelaufen

    Kommentare (1)

    #1 Quanteder
    15. September 2020

    „Wie sehen Sie (die Leser „(… Einzahl und Mehrzahl in Einem :)“) das?“

    Im „Logbuch Mathematik“ geht „Dr. Thilo“ (… eine in mir erlebte Realität mit Namen „hPantasie“ schlägt vor, Thilo mit Dr. Thilo zu betiteln) der Frage nach (… bemerke: Verwendung von Einzahl): „Wohnt der Realität eine mathematische Natur inne (… !!! ?) oder existiert die Mathematik nur in unseren Köpfen? (… !!! ?)“

    Meine innere Realität, nennen Wir sie einfach H. Panta-Sie, bemerkt: EINE Frage teilt sich in eine Frage oder (… und) eine Frage.
    Oder auch: 1 FRAGE = 1/2 frage + 1/2 frage
    Ist 1/2 frage = 1 ? Wenn ja, dann sollte 1 FRAGE = 1+1 sein. In der Mathematik ist das eine Falsche Aussage, in der Physik treffen Wir eine solche Aussage bei der Quantenverschränkung (… nur müsste eine 1 in [1+1] auf dem Kopf stehen, was mir mein Umgang mit der Tastatur hier nicht erlaubt )
    Aber: das Nachfragen von Realität innerhalb einer Realität (… in der 1. 1/2 frage) steht quasi Kopf zur 2. 1/2 frage (… einer NICHT-Realität, nur existent in unseren Köpfen (… als ob unsere Köpfe nicht zugehörig einer Realität wären ))

    Also: WEnn Wir unsere Köpfe zu Realität (… und das tut Wissenschaft ja) zählen, dann existiert Mathematik als NICHT-Realität in unserer Realität. Somit ziehen wir aus der 2. 1/2 frage einen Schluss und erhalten eine Bestätigung für Realität in der Realität (1. 1/2 frage).
    Beachte: Eine 1 FRAGE enthält immer die gesuchte Antwort in ihrer Fragestellung. Die Physiker kennen diesen Zustand als Katzen-Zustand (… Quantenzustand).

    H. Panta-Sie lässt fragen, welche 1 von [1]&[1] auf dem Kopf steht?

    „Wie sehen Sie (die Leser „(… Einzahl und Mehrzahl in Einem :)“) das?“

  3. #3 Fluffy
    15. September 2020

    Die Fibonacci-Zahlen sind eigentlich für jeden Laien ein dankbares Objekt, weil man keine Kenntnisse der höchsten Mathematik benötigt, um sie zu verstehen.
    Eigentlich reicht die Kenntnis, was ist eine geometrische Reihe schon aus.
    Das Bildungsgesetz ist sehr anschaulich
    F(n+2) = F(n+1)+F(n)
    Auch die explizite Formel mit
    F[n] = (a^n-b^n)/(a-b)
    mit a,b = 1/2(1 ± Sqrt[5]) kann man elementar herleiten, bzw. prüfen.
    Der abstraktionsschritt oben mit der verallgemeinerten Rekursion, geht aber schon viel weiter. Bleiben wir bei den gewöhnlichen Fibonaccizahlen.
    Obige Summe
    \frac{1}{F_{11}} = \Sigma_{k=1}^\infty \frac{F_k}{10^{k+1}}
    führt dann zur Untersuchung einer unendlichen geometrischen Folge, was machbar ist,
    Die Frage, ob noch andere Basiszahlen außer 10 und die von Thilo schon “probierten” git, führt nach einigen (mehreren) elementaren Operationen zur Aussage:
    Diese Basis b ist eine natürliche Zahl, wenn 4*F(n)+5 eine Quadratzahl ist.

    Entschuldigt die Kürze der Erklärung, aber es fällt mir zu schwer, hier Formeln zu posten.

  4. #4 Quanteder
    16. September 2020

    Fluffy, da ist nichts schiefgelaufen. Es zieht sich ein roter Faden durch den gesamten Kommentar 🙂

    In deinem Leben, in meinem Leben zieht sich solch ein roter Faden (… ein Thema im Leben, mit dem es Spass macht zu leben).

    Jede gesellschaftliche Epoche zieht sich entlang eines solchen roten Fadens.

    Du und ich und unsere derzeitige gesell. Epoche stellt sich solchen 1 FRAGEN 🙂

    Mit solchen 1 FRAGEN können Radikalisierungen in Filterblasen verhindert werden.

  5. #5 Helmut Zeisel
    Linz
    16. September 2020

    “Diese Basis b ist eine natürliche Zahl, wenn 4*F(n)+5 eine Quadratzahl ist.”

    Ja, das stimmt; insbesondere ist

    4*F1+5=3*3,
    4*F5+5=5*5 und
    4*F89=19*19

    Es bleibt natürlich die Frage, ob das alle Lösungen sind.

  6. #6 Quanteder
    16. September 2020

    Möglich ist auch, das es Lösungen gibt, welche die physische Realität nicht erreichen. Also mittels Bleistift nicht auf das Papier gebracht werden.

    Dies ist ein Problem von Physiker/innen. FRau Dr. Hossenfelder beschreibt in ihrem Buch „Lost in math“ unser durchaus „hässliches“ Universum, welches nicht den Vorstellungen von einigen Menschen entspricht. Das Resultat ist, das Physiker/innen sich von Wissenschaft entfernen und sich in mathematisch geistiger Schönheit verlieren (… Frau Dr. sucht Antworten auf eine 1 FRAGE und kann diese nicht finden (… obwohl diese sie immer wieder mit der Nase drauf stossen 🙂 ))

    Immerhin haben die Physiker/innen die Mathematik, um ihre Fehler zu reflektieren. Schlechter geht es da den Mathematiker/innen. Lösungen, welche nicht das Licht der physischen Realität erreichen, reflektieren in der NICHT-Realität (… lebendig gelebte Mathematik (… was immer das auch ist 🙂 ))

    Ihr Gastbeitrag auf mathlog beschreibt ebenso eine 1 FRAGE und dies wird mit dem 1. Wort bereits sichtbar: Bizarr . . . ..

  7. #7 Echt?
    16. September 2020

    Das stimmt. Ich wollte mal eine 3 schreiben und da ei verschwand der Bleistift in einem Wurmloch.