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Theorema Magnum MCMXLVI: die Leray-Spektralsequenz

Von / 1. Oktober 2020 / 9 Kommentare / Seite 2 von 3 / Auf einer Seite lesen
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Das war eine Verallgemeinerung der Čech-Kohomologie und insoweit nicht so beeindruckend. Leray ging es aber vor allem um die Untersuchung stetiger Abbildungen f\colon X\to Y mittels der Topologie ihrer Fasern F=f-1(y). Weil die Topologie der Fasern sich von Punkt zu Punkt ändern kann, hat man hier kein System lokaler Koeffizienten, wie es von Steenrod zur Definition von Kohomologie mit lokalen Koeffizienten verwendet worden war. Lerays Garbenkohomologie war viel allgemeiner als Steenrods Theorie, beispielsweise läßt sie sich auf die Wolkenkratzergarbe anwenden.
Im Fall eines Faserbündels kann man den Kokettenkomplex der Faser oder auch die Kohomologie der Faser als Garbe betrachten. Leray untersuchte allgemein Abbildungen f\colon X\to Y und betrachtete für eine Garbe {\mathcal F} dann gewisse Kohomologiegruppen – in heutiger Sprache H^p(Y,R^qf_*{\mathcal F}), wobei R^qf_*{\mathcal F} der abgeleitete Funktor des direkten Bildes f_*{\mathcal F} ist – und gab ein kompliziertes Verfahren, wie man aus diesen Gruppen die Kohomologie H^{n}(X,{\mathcal F}) von X berechnen kann. Im Fall, dass f ein Faserbündel ist, ist H^p(Y,R^qf_*{\mathcal F})=H^p(Y,H^q(F)), die p-te Garbenkohomologie der Garbe, welche in jedem Punkt die q-te Kohomologie der Faser F ist.

Die Formulierung dieses Verfahrens als Spektralsequenz gab ein Jahr später Cartans Student Koszul. Man hat dann Seiten einer Spektralsequenz, deren E_2^{p,q}-Term die oben genannte Gruppe ist. Die folgenden Seiten werden als E_{i+1}^{p,q}=ker(d)/im(d) für auf komplizierte Weise auf der E_i^{p,q}-Seite definierte Differentiale berechnet. Sie „konvergieren“ letztlich gegen E_\infty^{p,q}, woraus man die Kohomologie von X berechnen kann. (Konvergenz heißt hier, dass sich die Terme irgendwann nicht mehr ändern, die Differentiale also trivial werden.) Wenn beispielsweise das Faserbündel trivial ist, ist nach der Künneth-Formel H^{n}(X)=\oplus_{p+q=n}H^p(Y)\otimes H^q(F). Die Summanden sind gerade die E_2^{p,q}-Terme; die Differentiale sind in diesem Fall alle trivial. Für allgemeine Faserbündel sind wegen nichttrivialer Differentiale die E_\infty^{p,q}-Terme aber kleiner also die E_2^{p,q}-Terme. Die Spektralsequenz gibt also einen komplizierten algebraischen Zusammenhang der Homologiegruppen, der im einfachsten Fall von Produkten der Künneth-Formel entspricht.

Gleichzeitig mit Leray gab auch MacLanes Student Roger Lyndon in seiner Dissertation ein Verfahren zur Berechnung der Gruppenkohomologie für Gruppenerweiterungen an, welches Hochschild und Serre später als Spektralsequenz formulierten.

Lerays Arbeiten müssen für seine Zeitgenossen sehr obskur gewesen sein: ein neues Konzept (Garben) wird in eine neue Kohomologietheorie eingesetzt und dann benutzt, um gewissen Abbildungen eine äußerst komplexe Struktur zuzuordnen. Vor allem in Amerika wurden die Arbeiten schlecht aufgenommen. Henri Cartan übernahm es in den folgenden Jahren, Lerays Arbeiten in eine verständliche Form zu bringen. Er schrieb die Theorie komplett neu, beginnend damit dass er sie auf Basis offener statt abgeschlossener Mengen entwickelte, und erhielt letztlich sehr einfache Formulierungen. Eine Garbe ist nun einfach eine Prägarbe, die eine Verklebebedingung und eine Lokalitätsbedingung erfüllt, beides zusammengefaßt in der Exaktheit von \mathcal F(U)\rightarrow \prod\mathcal F(U_i)\,\begin{matrix}{{{} \atop \longrightarrow}\atop{\longrightarrow \atop {}}}\end{matrix}\,\prod\mathcal F(U_i\cap U_j) für jede offene Überdeckung einer offenen Teilmenge U durch Ui´s. Die Garbenkohomologie definierte er durch Auflösungen: man betrachtet eine injektive Auflösung der Garbe; die sich ergebende exakte Sequenz ist nicht mehr exakt, wenn man zu globalen Schnitten übergeht; die Kohomologie dieser neuen Sequenz ist per Definition die (nicht von der injektiven Auflösung abhängende) Kohomologie der Garbe. Lerays ursprüngliche Definitionen wurden nicht weiter verwendet.

Die Leray-Spektralsequenz hatte jedoch eine Reihe von Anwendungen für Abbildungen in kompakte Hausdorff-Räume. Einfachstes Beispiel: wenn das Urbild jedes Punktes die Kohomologie eines Punktes hat, dann induziert die Abbildung einen Isomorphismus in Kohomologie. Das war zwar schon Vietoris bekannt gewesen, Leray hatte aber eine Reihe weitergehender Anwendungen, die aus der Kohomologie des Urbildes eines Punktes auf die Zusammenhänge zwischen der Kohomologie der beiden Räume schließen lassen. Auch die von Hopfs Student Werner Gysin gefundene exakte Sequenz die Kohomologie von Sphärenbündeln bekam er mit seinem Ansatz. In einer weiteren Arbeit benutzte Leray seine Spektralsequenz, um die Kohomologie von Fahnenmannigfaltigkeiten und allgemein von Mannigfaltigkeiten G/T für eine kompakte Lie-Gruppe G und einen maximalen Torus T zu berechnen.

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Kommentare (9)

  1. #1 rolak
    1. Oktober 2020

    So wie er mit Schauder..

    Klang im ersten Moment nach Widerwillen, ist jedoch Kooperation.

  2. #2 Marc Nardmann
    1. Oktober 2020

    “Satz von Mittag-Leffler, dass man sich in einer diskreten Teilmenge” –> … diskreten abgeschlossenen Teilmenge …

  3. #3 Thilo
    1. Oktober 2020

    Danke

  4. #4 Unendliches Ladungsfeld
    2. Oktober 2020

    andererseits muss das Integral einer exakten Form über eine geschlossene Mannigfaltigkeit aber Null sein

    Das Objekt Elektron wird vom Funktionsobjekt Proton in eine exakte Form über einer geschlossenen Mannigfaltigkeit umgewandelt, weswegen ein Protonfeld-Integral über einen geschlossen Weg auf dieser Mannigfaltigkeit immer Null ist. Mit anderen Worten: Das negative geladene Objekt Elektron eines Wasserstoffatoms schwingt nicht als strahlungslose Welle in der 1s-Kugel, die als Polstelle das positive Funktionsobjekt Proton hat, sondern neutralisiert (mathematisch perfekt) als exakte Form über eine geschlossene Mannigfaltigkeit die potenzielle Arbeitsleistung des Proton-Felds.

    Thilo zerstört die Quantenmechanik der CPU!

  5. #5 Endlicher Kosmos
    4. Oktober 2020

    Ein Gamma-Quant tangiert einen radioaktiven (schweren) Kern und wird in 1 kernloses radiales E-Feld (Elektron) und in 1 radiales P-Feld (Positron) umgewandelt.

    Uni Würzburg
    Skript der Theoretischen Physik für Studierende des Lehramts
    Klassische Mechanik und Quantenmechanik
    Wolfgang Kinzel
    4. Februar 2020
    Seite 138
    3.7 Spin

    Allerdings ist ein Elektron ein punktförmiges Teilchen, es konnte bis heute keine Ausdehnung gemessen werden.

    Ein mathematisches radiales E-Feld darf sich in die 52 Milliarden durchmessende, abgeschlossene, kompakte Mannigfaltigkeit des Kosmos ausbreiten, wird am Rand reflektiert, und der Satz von Stokes ist bis zu 104 Milliarden Jahre richtig.

    Ein mathematisches radiales E-Feld wird in einer mikroskopischen abgeschlossenen Mannigfaltigkeit eingeschlossen, die für Higgs-Bosonen eine verbotene Zone ist, und das E-Feld bewegt sich masselos mit Lichtgeschwindigkeit, was ein B-Feld erzeugt, was insgesamt eine elektromagnetische Welle ist, die innerhalb der mikroskopischen Mannigfaltigkeit schwingt, und der Satz von Stokes ist falsch.

    Mit anderen Worten: Lehramtphysikbücher, in denen um ein Elektron-Feld ein Stokes-Rand gezeichnet und jegliche andere Physik ausgeblendet wird, erzeugen keine Querdenker.

  6. #6 Plutonier
    6. Oktober 2020

    Eine exakte Form ist die Differenz von 2 homologen Formen.
    Ein Elektron ist keine exakte Form, wenn es ein Torus ist.

    Mathematiker pflegen den Mythos der spielerischen Eleganz, indem sie rückwärts beweisend unglaublich viel Unfug und Irrwege löschen, wobei sie niemals die Physik und ihren mysteriösen Elektronen-Spin aus den Augen verlieren. #Sei_epsilon_kleiner_1/2

  7. #7 Thilo
    6. Oktober 2020

    Nur stand der zitierte Text zu keinem Zeitpunkt im Artikel und wurde dementsprechend auch nicht gelöscht.

  8. #8 Plutonier
    7. Oktober 2020

    Wenn er in deinem Artikel nicht stand und (als Unfug oder Irrweg) dementsprechend nicht gelöscht wurde, wird ein Autor seinen Satz seines mathematischen Buches, welches das Wort Physik im Titel enthält, in der nächsten Auflage löschen?

    Zwei Formen, deren Differenz eine exakte Form ist, heißen kohomolog

    Thilo sagt, folgender Torus-Satz des Autors ist auch falsch.
    Wem soll ich glauben?

    r=1: w1=c_1dg_1+c_1’dg_2 (c_1,c_1’ Element von R)
    Obwohl die 1-Form dg_i wie eine exakte Form aussieht, gibt es keine Funktion g_i, welche eindeutig auf S_1 definiert wäre. Wegen Kappa(S_1)=0 gilt Kappa(S_1xS_2)=0

    Das Wort Torus taucht 51mal in diesem Buch auf, das Wort Physik wird 158mal verwendet, das Elektron und seine Form wird mit keinem Wort erwähnt. Meiner Meinung nach löschte er oder sein Verlag jeden topologischen Satz über die Form des Teilchenphysikpartikels Elektron.
    Natürlich ist es Clickbait, wenn sein Verlag seinen Titel … theoretisches Physik-Minimum für Studierende in theoretischer Physik durch Physik ersetzte.

    Zusamenfassung
    Wegen Clickbaits warne ich vor Büchern der Max-Tegmark-Fraktion, die in ihrem mathematischen Universum in Elementarteilchenpartikeln nur mathematische Elemente von nicht-Abel’schen Eichtheorien sehen.

  9. #9 Theorema Magnum – Mathlog
    25. September 2021

    […] Funktionalkalkül Der Satz von Chern-Gauß-Bonnet Der Eilenberg-Steenrod-Eindeutigkeitssatz Die Leray-Spektralsequenz Konditionierung linearer Gleichungssysteme Das Simplex-Verfahren Das WKS-Abtasttheorem Adelische […]