Die beiden grundlegenden Sätze der klassischen Funktionentheorie, der Produktsatz von Weierstraß und der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler, lassen sich beide verstehen als eine Globalisierung von lokal leicht durchzuführenden Konstruktionen.
Beim Partialbruchsatz geht es um das Problem, eine meromorphe Funktion mit vorgegebenen Polstellen zu finden. Gibt es beispielsweise eine Funktion f, die in jeder natürlichen Zahl n eine Polstelle mit Residuum 1 hat, sich also in einer Umgebung von n als f_n(z)+\frac{1}{z-n} mit fn holomorph schreiben läßt? In diesem Beispiel kann man die Lösung konkret angeben durch die normal konvergente Reihe \sum_{k=1}^\infty \frac{z}{k(z-k)}. Allgemein besagt der Satz von Mittag-Leffler, dass man sich in einer diskreten, abgeschlossenen Teilmenge D von C die Hauptteile einer meromorphen Funktion vorgeben kann und dann eine auf der ganzen Ebene meromorphe Funktion findet, die außerhalb D holomorph ist und in D genau die vorgegebenen Hauptteile hat. Anders gesagt: wenn man eine offene Überdeckung und meromorphe Funktionen fi:Ui—->C hat, so dass auf den Durchschnittsmengen die Differenzen fi-fj jeweils holomorph sind, dann gibt es eine auf der ganzen Ebene definierte meromorphe Funktion f, so dass f-fi jeweils auf den Mengen Ui holomorph sind.
Ähnlich besagt der Weierstraßsche Produktsatz, dass man meromorphe Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen finden kann, also zu einer Überdeckung und vorgegebenen Funktionen mit fi/fj jeweils holomorph auf Ui∩Uj findet man eine Funktion f, so dass jeweils f/fi auf Ui holomorph ist.
Die Frage, inwieweit diese beiden Lokal-Global-Prinzipien nicht nur auf der komplexen Ebene, sondern auch auf Riemannschen Flächen komplizierterer Topologie funktionieren, heißt (additives oder multiplikatives) Cousin-Problem. Poincarés Student Pierre Cousin hatte sie 1895 für Zylindergebiete gelöst. In den 1940er Jahren hatten Oka und Stein einige Spezialfälle bearbeitet, aber die allgemeine Frage blieb noch offen.

Bei einer Reihe von Differentialgleichungen, etwa den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik, kann die Theorie der Differentialformen erklären, warum es lokale, aber in Abhängigkeit von der Topologie nicht immer globale Lösungen gibt. Poincaré und zuvor bereits Volterra hatten für sternförmige Gebiete bewiesen, dass geschlossene Differentialformen stets exakt sind. Beide hatten festgestellt, dass dieser Satz auf Sphären nicht mehr zutrifft. Beispielsweise hat man auf der S2 die Differentialform d\theta := \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}, die trotz der Bezeichnung dθ keine exakte Form sein kann: man berechnet \int_{S^2} d\theta=2\pi, andererseits wäre das Integral einer exakten Form über eine geschlossene Mannigfaltigkeit aber Null sein nach dem Satz von Stokes: \int_M d\alpha=\int_{\partial M}\alpha=0 wegen \partial M=\emptyset. Das war aber kein verbreitetes Wissen, es dauerte eine Weile, bis Mathematiker verstanden, dass lokale Integrierbarkeit von Differentialformen nicht die globale Integrierbarkeit gibt. 1931 bewies Georges de Rham dann eine Vermutung Élie Cartans, dass die Hindernisse für Integrierbarkeit topologischer Natur sind: der Quotientenraum Kern(d)/Bild(d) berechnet das Dual der Homologie mit reellen Koeffizienten – in heutiger Sprache die Kohomologie – der Mannigfaltigkeit.

Arbeiten mit Differentialformen ist in vieler Hinsicht einfacher als andere Ansätze zur Homologietheorie. Allerdings hat man diesen Ansatz nur für Mannigfaltigkeiten zur Verfügung.
Jean Leray hatte 1935 Élie Cartans Notizen über Differentialformen auf Lie-Gruppen redigiert und wiederholt geäußert, dass er die Kraft dieser Methoden gerne auf allgemeine topologische Räume übertragen würde. Darüber arbeitete er dann, als er im zweiten Weltkrieg fünf Jahre in einem Lager für gefangene Offiziere in der Nähe von Salzburg verbrachte. (Er wurde dort Rektor der Lageruniversität und hielt Vorlesungen über algebraische Topologie.)

So wie er mit Schauder den Abbildungsgrad axiomatisiert und damit verallgemeinert hatte, wollte Leray jetzt die Differentialformen axiomatisieren und dadurch verallgemeinern. In zwei 1946 in den Comptes Rendus veröffentlichten Artikeln führte er zunächst Garben und ihre Kohomologie und dann die nach ihm benannte Spektralsequenz ein.
Seine Definitionen zur Garbenkohomologie waren dabei noch nicht in ihrer späteren, endgültigen Form. Er ging von einem Kokettenkomplex über einem Ring A (in der Regel Z, Z/nZ oder Q) aus. Die Elemente des Kokettenkomplexes sollen einen Träger in einem festen topologischen Raum X haben. (Im Beispiel des Čech-Komplexes ist das der Durchschnitt der offenen Mengen, die einem Simplex im Nerv der Überdeckung entsprechen.) Zu einer abgeschlossenen Teilmenge F von X betrachtet er den Untermodul derjenigen Elemente, deren Träger F nicht schneidet. Der Quotient des Kokettenkomplexes nach diesem Untermodul ist per Definition der zu F assoziierte Kokettenkomplex C*(F). Damit bekommt man zu jeder abgeschlossenen Menge Kohomologiegruppen H*(F). Der Inklusion abgeschlossener Mengen entspricht eine Einschränkungsabbildung. Die lokale Integrierbarkeit von Integralformen (das Poincaré-Lemma) axiomatisiert er durch die Bedingung H*({p})=A. Die Kohomologie H*(X,A) soll dann der direkte Limes der Kohomologien dieser Kokettenkomplexe sein. (Es genügt, zur Berechnung nur eine unter Schnitten stabile Familie von Kettenkomplexen mit beliebig kleinen Trägern zu verwenden.)

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Kommentare (8)

  1. #1 rolak
    1. Oktober 2020

    So wie er mit Schauder..

    Klang im ersten Moment nach Widerwillen, ist jedoch Kooperation.

  2. #2 Marc Nardmann
    1. Oktober 2020

    “Satz von Mittag-Leffler, dass man sich in einer diskreten Teilmenge” –> … diskreten abgeschlossenen Teilmenge …

  3. #3 Thilo
    1. Oktober 2020

    Danke

  4. #4 Unendliches Ladungsfeld
    2. Oktober 2020

    andererseits muss das Integral einer exakten Form über eine geschlossene Mannigfaltigkeit aber Null sein

    Das Objekt Elektron wird vom Funktionsobjekt Proton in eine exakte Form über einer geschlossenen Mannigfaltigkeit umgewandelt, weswegen ein Protonfeld-Integral über einen geschlossen Weg auf dieser Mannigfaltigkeit immer Null ist. Mit anderen Worten: Das negative geladene Objekt Elektron eines Wasserstoffatoms schwingt nicht als strahlungslose Welle in der 1s-Kugel, die als Polstelle das positive Funktionsobjekt Proton hat, sondern neutralisiert (mathematisch perfekt) als exakte Form über eine geschlossene Mannigfaltigkeit die potenzielle Arbeitsleistung des Proton-Felds.

    Thilo zerstört die Quantenmechanik der CPU!

  5. #5 Endlicher Kosmos
    4. Oktober 2020

    Ein Gamma-Quant tangiert einen radioaktiven (schweren) Kern und wird in 1 kernloses radiales E-Feld (Elektron) und in 1 radiales P-Feld (Positron) umgewandelt.

    Uni Würzburg
    Skript der Theoretischen Physik für Studierende des Lehramts
    Klassische Mechanik und Quantenmechanik
    Wolfgang Kinzel
    4. Februar 2020
    Seite 138
    3.7 Spin

    Allerdings ist ein Elektron ein punktförmiges Teilchen, es konnte bis heute keine Ausdehnung gemessen werden.

    Ein mathematisches radiales E-Feld darf sich in die 52 Milliarden durchmessende, abgeschlossene, kompakte Mannigfaltigkeit des Kosmos ausbreiten, wird am Rand reflektiert, und der Satz von Stokes ist bis zu 104 Milliarden Jahre richtig.

    Ein mathematisches radiales E-Feld wird in einer mikroskopischen abgeschlossenen Mannigfaltigkeit eingeschlossen, die für Higgs-Bosonen eine verbotene Zone ist, und das E-Feld bewegt sich masselos mit Lichtgeschwindigkeit, was ein B-Feld erzeugt, was insgesamt eine elektromagnetische Welle ist, die innerhalb der mikroskopischen Mannigfaltigkeit schwingt, und der Satz von Stokes ist falsch.

    Mit anderen Worten: Lehramtphysikbücher, in denen um ein Elektron-Feld ein Stokes-Rand gezeichnet und jegliche andere Physik ausgeblendet wird, erzeugen keine Querdenker.

  6. #6 Plutonier
    6. Oktober 2020

    Eine exakte Form ist die Differenz von 2 homologen Formen.
    Ein Elektron ist keine exakte Form, wenn es ein Torus ist.

    Mathematiker pflegen den Mythos der spielerischen Eleganz, indem sie rückwärts beweisend unglaublich viel Unfug und Irrwege löschen, wobei sie niemals die Physik und ihren mysteriösen Elektronen-Spin aus den Augen verlieren. #Sei_epsilon_kleiner_1/2

  7. #7 Thilo
    6. Oktober 2020

    Nur stand der zitierte Text zu keinem Zeitpunkt im Artikel und wurde dementsprechend auch nicht gelöscht.

  8. #8 Plutonier
    7. Oktober 2020

    Wenn er in deinem Artikel nicht stand und (als Unfug oder Irrweg) dementsprechend nicht gelöscht wurde, wird ein Autor seinen Satz seines mathematischen Buches, welches das Wort Physik im Titel enthält, in der nächsten Auflage löschen?

    Zwei Formen, deren Differenz eine exakte Form ist, heißen kohomolog

    Thilo sagt, folgender Torus-Satz des Autors ist auch falsch.
    Wem soll ich glauben?

    r=1: w1=c_1dg_1+c_1’dg_2 (c_1,c_1’ Element von R)
    Obwohl die 1-Form dg_i wie eine exakte Form aussieht, gibt es keine Funktion g_i, welche eindeutig auf S_1 definiert wäre. Wegen Kappa(S_1)=0 gilt Kappa(S_1xS_2)=0

    Das Wort Torus taucht 51mal in diesem Buch auf, das Wort Physik wird 158mal verwendet, das Elektron und seine Form wird mit keinem Wort erwähnt. Meiner Meinung nach löschte er oder sein Verlag jeden topologischen Satz über die Form des Teilchenphysikpartikels Elektron.
    Natürlich ist es Clickbait, wenn sein Verlag seinen Titel … theoretisches Physik-Minimum für Studierende in theoretischer Physik durch Physik ersetzte.

    Zusamenfassung
    Wegen Clickbaits warne ich vor Büchern der Max-Tegmark-Fraktion, die in ihrem mathematischen Universum in Elementarteilchenpartikeln nur mathematische Elemente von nicht-Abel’schen Eichtheorien sehen.